Question

8．若存在正实数x，使得不等式$\frac{lnx}{x+1}$≥ln$\frac{kx}{x+1}$成立，求实数k的取值范围．

Answer 1

分析 存在正实数x使不等式$\frac{lnx}{x+1}$≥ln$\frac{kx}{x+1}$成立，即存在正实数x使不等式lnx-（x+1）ln$\frac{kx}{x+1}$≥0成立，令f（x）=lnx-（x+1）ln$\frac{kx}{x+1}$，则函数的最大值不小于0，分类讨论满足条件的k值，综合讨论结果，可得答案．

解答 解：存在正实数x使不等式$\frac{lnx}{x+1}$≥ln$\frac{kx}{x+1}$成立，
则存在正实数x使不等式lnx≥（x+1）ln$\frac{kx}{x+1}$成立，
即存在正实数x使不等式lnx-（x+1）ln$\frac{kx}{x+1}$≥0成立，
令f（x）=lnx-（x+1）ln$\frac{kx}{x+1}$
则f′（x）=$\frac{1}{x}$-ln$\frac{kx}{x+1}$-（x+1）•$\frac{x+1}{kx}$•$\frac{k（x+1）-kx}{（x+1）^{2}}$=-ln$\frac{kx}{x+1}$，
（1）当k≤0时，不满足条件；
（2）当k＞0时，
①若0＜k≤1，f′（x）＜0恒成立，f（x）＜0恒成立，不满足条件；
②若k＞1，
在（0，$\frac{1}{k-1}$）上，f′（x）＞0，f（x）为增函数；
在（$\frac{1}{k-1}$，+∞）上，f′（x）＜0，f（x）为减函数；
故当x=$\frac{1}{k-1}$时，f（x）取最大值ln$\frac{1}{k-1}$，
令ln$\frac{1}{k-1}$≥0，则$\frac{1}{k-1}$≥1，
解得：k∈（1，2]，
综上所述，k∈（1，2]

点评 本题考查的知识点是对数函数的图象和性质，存在性问题，利用导数分析函数的最值，难度中档．