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    已知非零向量
    a
    ，
    b
    满足
    a
    +3
    b
    与7
    a
    -5
    b
    互相垂直，
    a
    -4
    b
    与7
    a
    -2
    b
    互相垂直，则
    a
    与
    b
    的夹角为
    π
    3
    π
    3
    ．
    分析：由题意可得
    7
    a
    2    +16
    a
    •
    b
    -15
    b
    2    =0     ①
    7
    a
    2    -30
    a
    •
    b
    +8
    b
    2    =0        ②
    ，联立可解得
    b
    2    =2
    a
    •
    b
    ，|
    a
    |=|
    b
    |    ，代入向量的夹角公式可得其余弦值，由夹角的范围可得．
    解答：解：设
    a
    与
    b
    的夹角为θ，θ∈[0，π]
    由题意可得
    (
    a
    +3
    b
    )•(7
    a
    -5
    b
    )=0
    (
    a
    -4
    b
    )•(7
    a
    -2
    b
    )=0
    ，
    即
    7
    a
    2    +16
    a
    •
    b
    -15
    b
    2    =0     ①
    7
    a
    2    -30
    a
    •
    b
    +8
    b
    2    =0        ②
    ，
    ②-①可得23
    b
    2    -46
    a
    •
    b
    =0    ，即
    b
    2    =2
    a
    •
    b
    ，
    再代入①可得
    a
    2    =
    b
    2    ，即|
    a
    |=|
    b
    |    ，
    ∴cosθ=
    a
    •
    b
    |
    a
    ||
    b
    |
    =
    1
    2
    ，又θ∈[0，π]
    ∴θ=
    π
    3

    故答案为：
    π
    3
    点评：本题考查向量的夹角与向量的数量积的关系，属中档题．
    练习册系列答案
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    相关习题

    科目：高中数学 来源： 题型：

    已知非零向量
    e1
    ，
    e2
    ，
    a
    ，
    b
    满足
    a
    =2
    e1
    -
    e2
    ，
    b
    =k
    e1
    +
    e2
    ．
    （1）若
    e1
    与
    e2
    不共线，
    a
    与
    b
    是共线，求实数k的值；
    （2）是否存在实数k，使得
    a
    与
    b
    不共线，
    e1
    与
    e2
    是共线？若存在，求出k的值，否则说明理由．

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    科目：高中数学 来源： 题型：

    已知非零向量
    AB
    与
    AC
    满足（
    AB
    |
    AB|
    +
    AC
    |
    AC|
    ）•
    BC
    =0，且
    AB
    |
    AB|
    •
    AC
    |
    AC|
    =-
    1
    2
    ，则△ABC为（　　）
    A、等腰非等边三角形
    B、等边三角形
    C、三边均不相等的三角形
    D、直角三角形

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    科目：高中数学 来源： 题型：

    已知非零向量
    AB
    与
    AC
    满足(
    AB
    |
    AB
    |
    +
    AC
    |
    AC
    |
    ).
    BC
    =0    且
    AB
    |
    AB
    |
    •
    AC
    |
    AC
    |
    =
    1
    2
    ． 则△ABC为（　　）

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    科目：高中数学 来源：2010-2011学年四川省成都市高三第一次模拟文科数学卷 题型：填空题

    已知非零向量、、、满足：=++g（，，gR），B、C、D为不共线三点，给出下列命题：

    ①若=，=，g，则A、B、C、D四点在同一平面上；

    ②若==g，|+||+||=1，<,>=<,>=，<,>=，则||=2；

    ③已知正项等差数列{an}(n，若a2，=a2009，g，且A、B、C三点共线，但O点不在直线BC上，则的最小值为10；

    ④若=，=，g，则A、B、C三点共线且A分所成的比一定为4

     

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    科目：高中数学 来源：2011年四川省成都市高考数学一模试卷（文科）（解析版） 题型：解答题

    已知非零向量、、、满足：=αZ+βZ+γZ（α，β，γ∈R），B、C、D为不共线三点，给出下列命题：
    ①若α=，β=，γ=-1，则A、B、C、D四点在同一平面上；
    ②若α=β=γ=1，|Z|+||+||=1，＜，＞=＜，＞=，＜，＞=，则||=2；
    ③已知正项等差数列{an}（n∈N*Z），若α=a2，β=a2009，γ=0，且A、B、C三点共线，但O点不在直线BC上，则的最小值为10；
    ④若α=，β=-Z，γ=0，则A、B、C三点共线且A分所成的比λ一定为-4
    其中你认为正确的所有命题的序号是    ．

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