Question

已知抛物线上的任意一点到该抛物线焦点的距离比该点到轴的距离多1．

（1）求的值；
（2）如图所示，过定点（2，0）且互相垂直的两条直线、分别与该抛物线分别交于、、、四点．
（i）求四边形面积的最小值；
（ii）设线段、的中点分别为、两点，试问：直线是否过定点？若是，求出定点坐标；若不是，请说明理由．

Answer 1

（1）（2）（i）四边形面积的最小值是48（ii）

解析试题分析：（1）直接利用抛物线的定义
（2）（i）S_{四边形ABCD}，，利用弦长
公式，以及基本不等式，二次函数在闭区间上的最值问题
的解法求解
（ii）恒过定点问题的常规解法
试题解析：
（1）由已知∴
（2）（i）由题意可设直线的方程为（），代入得
设则，
∴
    6分
同理可得                  7分
S_{四边形ABCD}
 8分
设则∴S_{四边形ABCD}
∵函数在上是增函数
∴S_{四边形ABCD}，当且仅当即即时取等号
∴四边形面积的最小值是48.   9分
（ii）由①得∴∴
∴，        11分
同理得       12分
∴直线的方程可表示为

即
当时得
∴直线过定点（4,0）.                    14分
注：第（2）中的第（i）问：
S_{四边形ABCD}

（当且仅当时取等号）也可.
考点：本题主要考查抛物线标准方程，简单几何性质，直线与抛物线的位置关系，弦长公式，基本不等式，二次函数在闭区间上的最值问题等基础知识．考查运算求解能力，推理论证能力；考查函数与方程思想，化归与转化思想．