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如图,已知焦点在轴上的椭圆经过点,直线
交椭圆于不同的两点.

(1)求该椭圆的标准方程;
(2)求实数的取值范围;
(3)是否存在实数,使△是以为直角的直角三角形,若存在,求出的值,若不存,请说明理由.

(1)(2)(3)见解析

解析试题分析:(1)设出椭圆方程的标准形式,由离心率的值及椭圆过点(4,1)求出待定系数,得到椭圆的标准方程.
(2)把直线方程代入椭圆的方程,由判别式大于0,求出m的范围即可;
(3)对于存在性问题,可先假设存在,即假设存在实数m满足题意,再利用△ABM为直角三角形,结合向量垂直的条件求出m,若出现矛盾,则说明假设不成立,即不存在;否则存在.
试题解析:解:(1)依题意,解得,    2分
所以椭圆的标准方程是.      3分
(2)由,           4分
直线与椭圆有两个不同的交点,
            6分
解得                          7分
(3)假设存在实数满足题意,则由为直角得,        8分
,由(2)得    9分
   10分
             11分

             12分
   13分
因为
综上所述,存在实数使△为直角三角形.    14分
考点:1.直线与圆锥曲线的综合问题;2.椭圆的标准方程.

练习册系列答案
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科目:高中数学 来源: 题型:解答题

已知椭圆)的右焦点为,且椭圆过点
(1)求椭圆的方程;
(2)设斜率为的直线与椭圆交于不同两点,以线段为底边作等腰三角形,其中顶点的坐标为,求△的面积.

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科目:高中数学 来源: 题型:解答题

已知是椭圆上两点,点的坐标为.
(1)当关于点对称时,求证:
(2)当直线经过点时,求证:不可能为等边三角形.

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已知抛物线上的任意一点到该抛物线焦点的距离比该点到轴的距离多1.

(1)求的值;
(2)如图所示,过定点(2,0)且互相垂直的两条直线分别与该抛物线分别交于四点.
(i)求四边形面积的最小值;
(ii)设线段的中点分别为两点,试问:直线是否过定点?若是,求出定点坐标;若不是,请说明理由.

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科目:高中数学 来源: 题型:解答题

已知椭圆经过点,离心率为
(1)求椭圆的方程;
(2)直线与椭圆交于两点,点是椭圆的右顶点.直线与直线分别与轴交于点,试问以线段为直径的圆是否过轴上的定点?若是,求出定点坐标;若不是,说明理由.

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科目:高中数学 来源: 题型:解答题

已知椭圆的焦点在轴上,离心率为,对称轴为坐标轴,且经过点
(1)求椭圆的方程;
(2)直线与椭圆相交于两点, 为原点,在上分别存在异于点的点,使得在以为直径的圆外,求直线斜率的取值范围.

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科目:高中数学 来源: 题型:解答题

已知椭圆,椭圆的长轴为短轴,且与有相同的离心率.
(1)求椭圆的方程;
(2)设为坐标原点,点分别在椭圆上,,求直线的方程.

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科目:高中数学 来源: 题型:解答题

设A1、A2与B分别是椭圆E:=1(a>b>0)的左、右顶点与上顶点,直线A2B与圆C:x2+y2=1相切.
(1)求证:=1;
(2)P是椭圆E上异于A1、A2的一点,若直线PA1、PA2的斜率之积为-,求椭圆E的方程;
(3)直线l与椭圆E交于M、N两点,且·=0,试判断直线l与圆C的位置关系,并说明理由.

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科目:高中数学 来源: 题型:解答题

如图,已知圆,经过椭圆的右焦点F及上顶点B,过圆外一点倾斜角为的直线交椭圆于C,D两点,

(1)求椭圆的方程;
(2)若右焦点F在以线段CD为直径的圆E的外部,求m的取值范围.

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