已知椭圆经过点,离心率为.
(1)求椭圆的方程;
(2)直线与椭圆交于两点,点是椭圆的右顶点.直线与直线分别与轴交于点,试问以线段为直径的圆是否过轴上的定点?若是,求出定点坐标;若不是,说明理由.
(1)椭圆的方程是;(2)线段为直径的圆过轴上的定点.
解析试题分析:(1)求椭圆的方程,已知椭圆经过点,离心率为,故可用待定系数法,利用离心率可得,利用过点,可得,再由,即可解出,从而得椭圆的方程;(2)这是探索性命题,可假设以线段为直径的圆过轴上的定点,则,故需表示出的坐标,因为点是椭圆的右顶点,所以点,设,分别写出直线与的方程,得的坐标,由,得,因此由得,则式方程的根,利用根与系数关系得,,,代入即可.
试题解析:(1)由题意得,解得,.
所以椭圆的方程是. 4分
(2)以线段为直径的圆过轴上的定点.
由得.
设,则有,.
又因为点是椭圆的右顶点,所以点.
由题意可知直线的方程为,故点.
直线的方程为,故点.
若以线段为直径的圆过轴上的定点,则等价于恒成立.
又因为,,
所以恒成立.
又因为,
,
所以.解得.
故以线段为直径的圆过轴上的定点. 14分
考点:求椭
科目:高中数学 来源: 题型:解答题
如图,直线与抛物线(常数)相交于不同的两点、,且(为定值),线段的中点为,与直线平行的切线的切点为(不与抛物线对称轴平行或重合且与抛物线只有一个公共点的直线称为抛物线的切线,这个公共点为切点).
(1)用、表示出点、点的坐标,并证明垂直于轴;
(2)求的面积,证明的面积与、无关,只与有关;
(3)小张所在的兴趣小组完成上面两个小题后,小张连、,再作与、平行的切线,切点分别为、,小张马上写出了、的面积,由此小张求出了直线与抛物线围成的面积,你认为小张能做到吗?请你说出理由.
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科目:高中数学 来源: 题型:解答题
(1)已知定点、,动点N满足(O为坐标原点),,,,求点P的轨迹方程.
(2)如图,已知椭圆的上、下顶点分别为,点在椭圆上,且异于点,直线与直线分别交于点,
(ⅰ)设直线的斜率分别为、,求证:为定值;
(ⅱ)当点运动时,以为直径的圆是否经过定点?请证明你的结论.
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科目:高中数学 来源: 题型:解答题
已知椭圆:的离心率为,其长轴长与短轴长的和等于6.
(1)求椭圆的方程;
(2)如图,设椭圆的上、下顶点分别为,是椭圆上异于的任意一点,直线分别交轴于点,若直线与过点的圆相切,切点为.证明:线段的长为定值.
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科目:高中数学 来源: 题型:解答题
如图,已知焦点在轴上的椭圆经过点,直线
交椭圆于不同的两点.
(1)求该椭圆的标准方程;
(2)求实数的取值范围;
(3)是否存在实数,使△是以为直角的直角三角形,若存在,求出的值,若不存,请说明理由.
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科目:高中数学 来源: 题型:解答题
如图,已知点是离心率为的椭圆:上的一点,斜率为的直线交椭圆于,两点,且、、三点互不重合.
(1)求椭圆的方程;(2)求证:直线,的斜率之和为定值.
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科目:高中数学 来源: 题型:解答题
在平面直角坐标系xOy中,椭圆C:=1(a>b>0)的右焦点为F(4m,0)(m>0,m为常数),离心率等于0.8,过焦点F、倾斜角为θ的直线l交椭圆C于M、N两点.
(1)求椭圆C的标准方程;
(2)若θ=90°,,求实数m;
(3)试问的值是否与θ的大小无关,并证明你的结论.
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已知,直线,为平面上的动点,过点作的垂线,垂足为点,且.
(1)求动点的轨迹曲线的方程;
(2)设动直线与曲线相切于点,且与直线相交于点,试探究:在坐标平面内是否存在一个定点,使得以为直径的圆恒过此定点?若存在,求出定点的坐标;若不存在,说明理由.
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