精英家教网 > 高中数学 > 题目详情

已知,直线为平面上的动点,过点的垂线,垂足为点,且
(1)求动点的轨迹曲线的方程;
(2)设动直线与曲线相切于点,且与直线相交于点,试探究:在坐标平面内是否存在一个定点,使得以为直径的圆恒过此定点?若存在,求出定点的坐标;若不存在,说明理由.

(1)动点的轨迹曲线的方程为;(2)存在一个定点符合题意.

解析试题分析:(1)先设点,则,由,易得动点的轨迹曲线的方程;(2)把直线方程和抛物线方程联立,消去,因为相切等价于,得;从而可得点的坐标,写出以为直径的圆的方程,即可得存在一个定点符合题意.
试题解析: (1)设点,则,由,得
,化简得
(2)由
,得,从而有,
则以为直径的圆的方程为
整理得,

所以存在一个定点符合题意.
考点:向量的数量积、直线与圆锥曲线的位置关系、转化思想.

练习册系列答案
相关习题

科目:高中数学 来源: 题型:解答题

已知椭圆经过点,离心率为
(1)求椭圆的方程;
(2)直线与椭圆交于两点,点是椭圆的右顶点.直线与直线分别与轴交于点,试问以线段为直径的圆是否过轴上的定点?若是,求出定点坐标;若不是,说明理由.

查看答案和解析>>

科目:高中数学 来源: 题型:解答题

已知抛物线的顶点在原点,对称轴为坐标轴,焦点在直线2x-y-4=0上,求抛物线的标准方程.

查看答案和解析>>

科目:高中数学 来源: 题型:解答题

已知定点F(0,1)和直线l1:y=-1,过定点F与直线l1相切的动圆圆心为点C.
(1)求动点C的轨迹方程;
(2)过点F的直线l2交轨迹于两点P、Q,交直线l1于点R,求·的最小值.

查看答案和解析>>

科目:高中数学 来源: 题型:解答题

如图,已知圆,经过椭圆的右焦点F及上顶点B,过圆外一点倾斜角为的直线交椭圆于C,D两点,

(1)求椭圆的方程;
(2)若右焦点F在以线段CD为直径的圆E的外部,求m的取值范围.

查看答案和解析>>

科目:高中数学 来源: 题型:解答题

已知双曲线过点(3,-2),且与椭圆4x2+9y2=36有相同的焦点.
(1)求双曲线的标准方程;
(2)求以双曲线的右准线为准线的抛物线的标准方程.

查看答案和解析>>

科目:高中数学 来源: 题型:解答题

如图,椭圆的中心为原点O,长轴在x轴上,离心率e=,过左焦点F1作x轴的垂线交椭圆于A、A′两点,=4.

(1)求该椭圆的标准方程;
(2)取平行于y轴的直线与椭圆相交于不同的两点P、P′,过P、P′作圆心为Q的圆,使椭圆上的其余点均在圆Q外.求△PP′Q的面积S的最大值,并写出对应的圆Q的标准方程.

查看答案和解析>>

科目:高中数学 来源: 题型:解答题

如图,已知梯形ABCD中|AB|=2|CD|,点E满足=λ,双曲线过C、D、E三点,且以A、B为焦点.当≤λ≤时,求双曲线离心率e的取值范围.

查看答案和解析>>

科目:高中数学 来源: 题型:解答题

椭圆=1的焦点为F1、F2,点P为椭圆上的动点,当∠F1PF2为钝角时,求点P的横坐标x0的取值范围.

查看答案和解析>>

同步练习册答案