如图,椭圆的中心为原点O,长轴在x轴上,离心率e=,过左焦点F1作x轴的垂线交椭圆于A、A′两点,
=4.
(1)求该椭圆的标准方程;
(2)取平行于y轴的直线与椭圆相交于不同的两点P、P′,过P、P′作圆心为Q的圆,使椭圆上的其余点均在圆Q外.求△PP′Q的面积S的最大值,并写出对应的圆Q的标准方程.
(1)+
=1 (2)2
(x+
)2+y2=6,(x-
)2+y2=6
解析解:(1)由题意知点A(-c,2)在椭圆上,则+
=1,从而e2+
=1,
又e=,故b2=
=8,从而a2
==16.
故该椭圆的标准方程为+
=1.
(2)由椭圆的对称性,可设Q(x0,0).又设M(x,y)是椭圆上任意一点,则|QM|2=(x-x0)2+y2=x2-2x0x++8×(1-
)=
(x-2x0)2-
+8(x∈[-4,4]).
设P(x1,y1),由题意知,P是椭圆上到Q的距离最小的点,
因此,当x=x1时|QM|2取最小值,
又x1∈(-4,4),所以当x=2x0时|QM|2取最小值,
从而x1=2x0,且|QP|2=8-.
由对称性知P′(x1,-y1),故|PP′|=|2y1|,
所以S=|2y1||x1-x0|
=×2
|x0|
=
=·
.
当x0=±时,△PP′Q的面积S取得最大值2
.
此时对应的圆Q的圆心坐标为Q(±,0),半径|QP|=
=
,
因此,这样的圆有两个,其标准方程分别为(x+)2+y2=6,(x-
)2+y2=6.
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已知,直线
,
为平面上的动点,过点
作
的垂线,垂足为点
,且
.
(1)求动点的轨迹曲线
的方程;
(2)设动直线与曲线
相切于点
,且与直线
相交于点
,试探究:在坐标平面内是否存在一个定点
,使得以
为直径的圆恒过此定点
?若存在,求出定点
的坐标;若不存在,说明理由.
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P为圆A:上的动点,点
.线段PB的垂直平分线与半径PA相交于点M,记点M的轨迹为Γ.
(1)求曲线Γ的方程;
(2)当点P在第一象限,且时,求点M的坐标.
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已知A,B分别是椭圆C1:+
=1的左、右顶点,P是椭圆上异于A,B的任意一点,Q是双曲线C2:
-
=1上异于A,B的任意一点,a>b>0.
(1)若P(,
),Q(
,1),求椭圆C1的方程;
(2)记直线AP,BP,AQ,BQ的斜率分别是k1,k2,k3,k4,求证:k1·k2+k3·k4为定值.
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在平面直角坐标系xOy中,F是抛物线C:x2=2py(p>0)的焦点,M是抛物线C上位于第一象限内的任意一点,过M,F,O三点的圆的圆心为Q,点Q到抛物线C的准线的距离为.
(1)求抛物线C的方程;
(2)是否存在点M,使得直线MQ与抛物线C相切于点M?若存在,求出点M的坐标;若不存在,说明理由.
(3)若点M的横坐标为,直线l:y=kx+
与抛物线C有两个不同的交点A,B,l与圆Q有两个不同的交点D,E,求当
≤k≤2时,|AB|2+|DE|2的最小值.
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已知常数,向量
,经过定点
以
为方向向量的直线与经过定点
以
为方向向量的直线相交于
,其中
,
(1)求点的轨迹
的方程;(2)若
,过
的直线交曲线
于
两点,求
的取值范围。
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已知椭圆的中心为坐标原点,短轴长为2,一条准线的方程为l:x=2.
(1)求椭圆的标准方程.
(2)设O为坐标原点,F是椭圆的右焦点,点M是直线l上的动点,过点F作OM的垂线与以OM为直径的圆交于点N,求证:线段ON的长为定值.
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