P为圆A:上的动点,点
.线段PB的垂直平分线与半径PA相交于点M,记点M的轨迹为Γ.
(1)求曲线Γ的方程;
(2)当点P在第一象限,且时,求点M的坐标.
(1);(2)
.
解析试题分析:本题主要考查椭圆的定义和标准方程、圆的方程、直线的方程、直线与曲线的位置关系等基础知识,同时考查解析几何的基本思想方法和运算求解能力. 第一问,根据圆的方程得到圆心A的坐标和半径的长,利用垂直平分线得到,而
,所以
,根据椭圆的定义,判断点M的轨迹为椭圆,得到椭圆的标准方程;根据已知条件先得出P点坐标,从而得到直线AP的方程,利用直线与椭圆相交解出M点坐标,过程中应注意方程根的取舍.
试题解析:(1)圆的圆心为
,半径等于
.
由已知,于是
,
故曲线Γ是以为焦点,以
为长轴长的椭圆,
,
曲线Γ的方程为. 5分
(2)由,
,得
. 8分
于是直线方程为
.
由解得
,
,
.
由于点在线段
上,所以点
坐标为
. 12分
考点:1.椭圆的定义及标准方程;2.直线与椭圆的位置关系.
科目:高中数学 来源: 题型:解答题
已知定点F(0,1)和直线l1:y=-1,过定点F与直线l1相切的动圆圆心为点C.
(1)求动点C的轨迹方程;
(2)过点F的直线l2交轨迹于两点P、Q,交直线l1于点R,求·
的最小值.
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科目:高中数学 来源: 题型:解答题
是否同时存在满足下列条件的双曲线,若存在,求出其方程,若不存在,说明理由.
(1)焦点在轴上的双曲线渐近线方程为
;
(2)点到双曲线上动点
的距离最小值为
.
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科目:高中数学 来源: 题型:解答题
如图,椭圆的中心为原点O,长轴在x轴上,离心率e=,过左焦点F1作x轴的垂线交椭圆于A、A′两点,
=4.
(1)求该椭圆的标准方程;
(2)取平行于y轴的直线与椭圆相交于不同的两点P、P′,过P、P′作圆心为Q的圆,使椭圆上的其余点均在圆Q外.求△PP′Q的面积S的最大值,并写出对应的圆Q的标准方程.
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科目:高中数学 来源: 题型:解答题
如图所示,设椭圆的中心为原点O,长轴在x轴上,上顶点为A,左、右焦点分别为F1、F2,线段OF1、OF2的中点分别为B1、B2,且△AB1B2是面积为4的直角三角形.
(1)求该椭圆的离心率和标准方程;
(2)过B1作直线交椭圆于P、Q两点,使PB2⊥QB2,求△PB2Q的面积.
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科目:高中数学 来源: 题型:解答题
设椭圆+
=1(a>b>0)的左,右焦点分别为F1,F2,点P(a,b)满足|PF2|=|F1F2|.
(1)求椭圆的离心率e;
(2)设直线PF2与椭圆相交于A,B两点.若直线PF2与圆(x+1)2+(y-)2=16相交于M,N两点,且|MN|=
|AB|,求椭圆的方程.
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设A,B分别是直线y=x和y=-
x上的动点,且|AB|=
,设O为坐标原点,动点P满足
=
+
.
(1)求点P的轨迹方程;
(2)过点(,0)作两条互相垂直的直线l1,l2,直线l1,l2与点P的轨迹的相交弦分别为CD,EF,设CD,EF的弦中点分别为M,N,求证:直线MN恒过一个定点.
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