如图所示,设椭圆的中心为原点O,长轴在x轴上,上顶点为A,左、右焦点分别为F1、F2,线段OF1、OF2的中点分别为B1、B2,且△AB1B2是面积为4的直角三角形.
(1)求该椭圆的离心率和标准方程;
(2)过B1作直线交椭圆于P、Q两点,使PB2⊥QB2,求△PB2Q的面积.
(1) +
=1
(2)
解析解:(1)设椭圆的标准方程为+
=1(a>b>0),焦距为2c,则A(0,b),|OB1|=|OB2|=
.
由=4得
·c·b=4,
即bc=8.①
又△AB1B2是直角三角形,
且|OB1|=|OB2|,∴b=.②
由①②可得b=2,c=4.
∴a2=20.
∴椭圆的标准方程为+
=1,离心率e=
=
.
(2)由(1)知B1(-2,0),B2(2,0).
由题意知,直线PQ的倾斜角不为0,
故可设直线PQ的方程为x=my-2.
代入椭圆方程得(m2+5)y2-4my-16=0.(*)
设P1(x1,y1),P2(x2,y2),
则y1,y2是方程(*)的两根.
∴y1+y2=,y1·y2=-
.
又=(x1-2,y1),
=(x2-2,y2).
∴·
=(x1-2)(x2-2)+y1y2
=(my1-4)(my2-4)+y1y2
=(m2+1)y1y2-4m(y1+y2)+16
=--
+16
=-.
由PB2⊥B2Q知·
=0,
即-=0,
16m2-64=0,解得m=±2.
当m=2时,y1+y2=,y1y2=-
,
|y1-y2|==
.
=
|B1B2|·|y1-y2|=
.
当m=-2时,由椭圆的对称性可得=
.
综上所述,△PB2Q的面积为.
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已知椭圆的中心为坐标原点O,椭圆短半轴长为1,动点M(2,t)(t>0)在直线x=(a为长半轴,c为半焦距)上.
(1)求椭圆的标准方程;
(2)求以OM为直径且被直线3x-4y-5=0截得的弦长为2的圆的方程;
(3)设F是椭圆的右焦点,过点F作OM的垂线与以OM为直径的圆交于点N,求证:线段ON的长为定值,并求出这个定值.
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P为圆A:上的动点,点
.线段PB的垂直平分线与半径PA相交于点M,记点M的轨迹为Γ.
(1)求曲线Γ的方程;
(2)当点P在第一象限,且时,求点M的坐标.
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已知椭圆E:+
=1(a>b>0),以抛物线y2=8x的焦点为顶点,且离心率为
.
(1)求椭圆E的方程;
(2)若F为椭圆E的左焦点,O为坐标原点,直线l:y=kx+m与椭圆E相交于A、B两点,与直线x=-4相交于Q点,P是椭圆E上一点且满足=
+
,证明
·
为定值,并求出该值.
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在平面直角坐标系xOy中,F是抛物线C:x2=2py(p>0)的焦点,M是抛物线C上位于第一象限内的任意一点,过M,F,O三点的圆的圆心为Q,点Q到抛物线C的准线的距离为.
(1)求抛物线C的方程;
(2)是否存在点M,使得直线MQ与抛物线C相切于点M?若存在,求出点M的坐标;若不存在,说明理由.
(3)若点M的横坐标为,直线l:y=kx+
与抛物线C有两个不同的交点A,B,l与圆Q有两个不同的交点D,E,求当
≤k≤2时,|AB|2+|DE|2的最小值.
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椭圆C: +
=1(a>b>0)的离心率e=
,a+b=3.
(1)求椭圆C的方程;
(2)如图,A,B,D是椭圆C的顶点,P是椭圆C上除顶点外的任意一点,直线DP交x轴于点N,直线AD交BP于点M,设BP的斜率为k,MN的斜率为m.证明2m-k为定值.
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已知抛物线C的顶点为O(0,0),焦点为F(0,1).
(1)求抛物线C的方程;
(2)过点F作直线交抛物线C于A,B两点,若直线AO,BO分别交直线l:y=x-2于M,N两点,求|MN|的最小值.
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已知椭圆:
的离心率
,原点到过点
,
的直线的距离是
.
(1)求椭圆的方程;
(2)若椭圆上一动点
关于直线
的对称点为
,求
的取值范围;
(3)如果直线交椭圆
于不同的两点
,
,且
,
都在以
为圆心的圆上,求
的值.
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