已知椭圆:的离心率,原点到过点,的直线的距离是.
(1)求椭圆的方程;
(2)若椭圆上一动点关于直线的对称点为,求 的取值范围;
(3)如果直线交椭圆于不同的两点,,且,都在以为圆心的圆上,求的值.
(1)(2)(3)
解析试题分析:(1)由截距式可得直线的方程,根据点到线的距离公式可得间的关系,又因为,解方程组可得的值。(2)由点关于直线的对称点问题可知直线和直线垂直,且的中点在直线上,由此可用表示出。再将点代入椭圆方程将用表示代入上式,根据椭圆方程可的的范围,从而可得出所求范围。(3)将直线和椭圆方程联立,消去得关于的一元二次方程,根据韦达定理可得根与系数的关系。根据题意可知,可根据斜率相乘等于列出方程,也可转化为向量数量积为0列出方程。
试题解析:(Ⅰ)因为,,所以 .
因为原点到直线:的距离,解得,.
故所求椭圆的方程为. 4分
(Ⅱ)因为点关于直线的对称点为,
所以 解得 ,.
所以.
因为点在椭圆:上,所以.
因为, 所以.所以的取值范围为. 9分
(Ⅲ)由题意消去 ,整理得.可知.
设,,的中点是,
则,.
所以. 所以.
即 . 又因为,
所以.
所以 14分
考点:1点到线的距离; 2椭圆方程;3点关于线的对称点;4转换思想。
科目:高中数学 来源: 题型:解答题
如图所示,设椭圆的中心为原点O,长轴在x轴上,上顶点为A,左、右焦点分别为F1、F2,线段OF1、OF2的中点分别为B1、B2,且△AB1B2是面积为4的直角三角形.
(1)求该椭圆的离心率和标准方程;
(2)过B1作直线交椭圆于P、Q两点,使PB2⊥QB2,求△PB2Q的面积.
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设A,B分别是直线y=x和y=-x上的动点,且|AB|=,设O为坐标原点,动点P满足=+.
(1)求点P的轨迹方程;
(2)过点(,0)作两条互相垂直的直线l1,l2,直线l1,l2与点P的轨迹的相交弦分别为CD,EF,设CD,EF的弦中点分别为M,N,求证:直线MN恒过一个定点.
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已知线段AB的两个端点A,B分别在x轴、y轴上滑动,|AB|=3,点M满足2=.
(1)求动点M的轨迹E的方程.
(2)若曲线E的所有弦都不能被直线l:y=k(x-1)垂直平分,求实数k的取值范围.
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已知椭圆C:+=1(a>b>0)的右焦点为F(1,0),且点(-1,)在椭圆C上.
(1)求椭圆C的标准方程.
(2)已知点Q(,0),动直线l过点F,且直线l与椭圆C交于A,B两点,证明:·为定值.
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椭圆的离心率为,且过点直线与椭圆M交于A、C两点,直线与椭圆M交于B、D两点,四边形ABCD是平行四边形
(1)求椭圆M的方程;
(2)求证:平行四边形ABCD的对角线AC和BD相交于原点O;
(3)若平行四边形ABCD为菱形,求菱形ABCD的面积的最小值
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如图所示,已知抛物线方程为y2=4x,其焦点为F,准线为l,A点为抛物线上异于顶点的一个动点,射线HAE垂直于准线l,垂足为H,C点在x轴正半轴上,且四边形AHFC是平行四边形,线段AF和AC的延长线分别交抛物线于点B和点D.
(1)证明:∠BAD=∠EAD;
(2)求△ABD面积的最小值,并写出此时A点的坐标.
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已知椭圆C的中心在原点,焦点y在轴上,焦距为,且过点M。
(1)求椭圆C的方程;
(2)若过点的直线l交椭圆C于A、B两点,且N恰好为AB中点,能否在椭圆C上找到点D,使△ABD的面积最大?若能,求出点D的坐标;若不能,请说明理由。
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