椭圆
的离心率为
，且过点
直线
与椭圆M交于A、C两点，直线
与椭圆M交于B、D两点，四边形ABCD是平行四边形
（1）求椭圆M的方程；
（2）求证：平行四边形ABCD的对角线AC和BD相交于原点O；
（3）若平行四边形ABCD为菱形，求菱形ABCD的面积的最小值
（1）
；（2）详见解析；（3）最小值为
解析试题分析：（1）依题意有
，再加上
，解此方程组即可得
的值，从而得椭圆
的方程（2）由于四边形ABCD是平行四边形，所以ABCD的对角线AC和BD的中点重合
利用（1）所得椭圆方程，联立方程组
消去
得：
，显然点A、C的横坐标是这个方程的两个根，由此可得线段
的中点为
同理可得线段
的中点为
，由于中点重合，所以
，解得：
或
(舍)这说明和都过原点即相交于原点
（3）由于对角线过原点且该四边形为菱形，所以其面积为
由方程组
易得点A的坐标（用
表示），从而得
（用表示）；同理可得
（由于
，故仍可用表示）这样就可将表示为的函数，从而求得其最小值
试题解析：（1）依题意有，又因为，所以得
故椭圆的方程为 3分
（2）依题意，点
满足
所以
是方程的两个根
得
所以线段的中点为
同理，所以线段的中点为 5分
因为四边形
是平行四边形，所以
解得，或(舍)
即平行四边形的对角线和相交于原点 7分
（3）点满足
所以是方程
的两个根，即
故
同理，
9分
又因为
，所以
，其中
从而菱形的面积
53随堂测系列答案科目：高中数学 来源： 题型：解答题
椭圆C: 
+
=1(a>b>0)的离心率e=
,a+b=3.
(1)求椭圆C的方程;
(2)如图,A,B,D是椭圆C的顶点,P是椭圆C上除顶点外的任意一点,直线DP交x轴于点N,直线AD交BP于点M,设BP的斜率为k,MN的斜率为m.证明2m-k为定值.
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科目：高中数学 来源： 题型：解答题
已知椭圆M：
＝1(a＞b＞0)的短半轴长b＝1，且椭圆上一点与椭圆的两个焦点构成的三角形的周长为6＋4
.
(1)求椭圆M的方程；
(2)设直线l：x＝my＋t与椭圆M交于A，B两点，若以AB为直径的圆经过椭圆的右顶点C，求t的值．
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科目：高中数学 来源： 题型：解答题
已知椭圆
:
的离心率
,原点到过点
,
的直线的距离是
.
（1）求椭圆
的方程；
（2）若椭圆上一动点
关于直线
的对称点为
，求
的取值范围；
（3）如果直线
交椭圆于不同的两点
，
，且，都在以
为圆心的圆上，求
的值.
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科目：高中数学 来源： 题型：解答题
已知双曲线的中心在原点,焦点F1,F2在坐标轴上,离心率为
,且过点P(4,-
).
(1)求双曲线的方程.
(2)若点M(3,m)在双曲线上,求证:
·
=0.
(3)求△F1MF2的面积.
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科目：高中数学 来源： 题型：解答题
已知中心在原点的双曲线C的一个焦点是F1（一3,0)，一条渐近线的方程是
（1）求双曲线C的方程；
（2）若以k（k≠0)为斜率的直线
与双曲线C相交于两个不同的点M, N,且线段MN的
垂直平分线与两坐标轴围成的三角形的面积为
，求k的取值范围。
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科目：高中数学 来源： 题型：解答题
过椭圆Γ：
＝1(a＞b＞0)右焦点F2的直线交椭圆于A，B两点，F1为其左焦点，已知△AF1B的周长为8，椭圆的离心率为
.
(1)求椭圆Γ的方程；
(2)是否存在圆心在原点的圆，使得该圆的任意一条切线与椭圆Γ恒有两个交点P，Q，且
⊥
？若存在，求出该圆的方程；若不存在，请说明理由．
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科目：高中数学 来源： 题型：解答题
设椭圆
的右焦点为
，直线
与
轴交于点
，若
（其中
为坐标原点）．
（1）求椭圆
的方程；
（2）设
是椭圆上的任意一点，
为圆
的任意一条直径（
、
为直径的两个端点），求
的最大值．
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科目：高中数学 来源： 题型：解答题
在直角坐标系xOy中，中心在原点O，焦点在x轴上的椭圆C上的点(2
，1)到两焦点的距离之和为4
.
(1)求椭圆C的方程；
(2)过椭圆C的右焦点F作直线l与椭圆C分别交于A，B两点，其中点A在x轴下方，且
＝3
.求过O，A，B三点的圆的方程．
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