椭圆的离心率为
,且过点
直线
与椭圆M交于A、C两点,直线
与椭圆M交于B、D两点,四边形ABCD是平行四边形
(1)求椭圆M的方程;
(2)求证:平行四边形ABCD的对角线AC和BD相交于原点O;
(3)若平行四边形ABCD为菱形,求菱形ABCD的面积的最小值
(1);(2)详见解析;(3)最小值为
解析试题分析:(1)依题意有,再加上
,解此方程组即可得
的值,从而得椭圆
的方程(2)由于四边形ABCD是平行四边形,所以ABCD的对角线AC和BD的中点重合
利用(1)所得椭圆方程,联立方程组消去
得:
,显然点A、C的横坐标是这个方程的两个根,由此可得线段
的中点为
同理可得线段
的中点为
,由于中点重合,所以
,解得:
或
(舍)这说明
和
都过原点即相交于原点
(3)由于对角线过原点且该四边形为菱形,所以其面积为
由方程组
易得点A的坐标(用
表示),从而得
(用
表示);同理可得
(由于
,故仍可用
表示)这样就可将
表示为
的函数,从而求得其最小值
试题解析:(1)依题意有,又因为
,所以得
故椭圆的方程为
3分
(2)依题意,点满足
所以是方程
的两个根
得
所以线段的中点为
同理,所以线段的中点为
5分
因为四边形是平行四边形,所以
解得,或
(舍)
即平行四边形的对角线
和
相交于原点
7分
(3)点满足
所以是方程
的两个根,即
故
同理, 9分
又因为,所以
,其中
从而菱形的面积
科目:高中数学 来源: 题型:解答题
椭圆C: +
=1(a>b>0)的离心率e=
,a+b=3.
(1)求椭圆C的方程;
(2)如图,A,B,D是椭圆C的顶点,P是椭圆C上除顶点外的任意一点,直线DP交x轴于点N,直线AD交BP于点M,设BP的斜率为k,MN的斜率为m.证明2m-k为定值.
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科目:高中数学 来源: 题型:解答题
已知椭圆M:=1(a>b>0)的短半轴长b=1,且椭圆上一点与椭圆的两个焦点构成的三角形的周长为6+4
.
(1)求椭圆M的方程;
(2)设直线l:x=my+t与椭圆M交于A,B两点,若以AB为直径的圆经过椭圆的右顶点C,求t的值.
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已知椭圆:
的离心率
,原点到过点
,
的直线的距离是
.
(1)求椭圆的方程;
(2)若椭圆上一动点
关于直线
的对称点为
,求
的取值范围;
(3)如果直线交椭圆
于不同的两点
,
,且
,
都在以
为圆心的圆上,求
的值.
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已知双曲线的中心在原点,焦点F1,F2在坐标轴上,离心率为,且过点P(4,-
).
(1)求双曲线的方程.
(2)若点M(3,m)在双曲线上,求证:·
=0.
(3)求△F1MF2的面积.
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已知中心在原点的双曲线C的一个焦点是F1(一3,0),一条渐近线的方程是
(1)求双曲线C的方程;
(2)若以k(k≠0)为斜率的直线与双曲线C相交于两个不同的点M, N,且线段MN的
垂直平分线与两坐标轴围成的三角形的面积为,求k的取值范围。
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过椭圆Γ:=1(a>b>0)右焦点F2的直线交椭圆于A,B两点,F1为其左焦点,已知△AF1B的周长为8,椭圆的离心率为
.
(1)求椭圆Γ的方程;
(2)是否存在圆心在原点的圆,使得该圆的任意一条切线与椭圆Γ恒有两个交点P,Q,且⊥
?若存在,求出该圆的方程;若不存在,请说明理由.
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设椭圆的右焦点为
,直线
与
轴交于点
,若
(其中
为坐标原点).
(1)求椭圆的方程;
(2)设是椭圆
上的任意一点,
为圆
的任意一条直径(
、
为直径的两个端点),求
的最大值.
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在直角坐标系xOy中,中心在原点O,焦点在x轴上的椭圆C上的点(2,1)到两焦点的距离之和为4
.
(1)求椭圆C的方程;
(2)过椭圆C的右焦点F作直线l与椭圆C分别交于A,B两点,其中点A在x轴下方,且=3
.求过O,A,B三点的圆的方程.
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