已知中心在原点的双曲线C的一个焦点是F1(一3,0),一条渐近线的方程是
(1)求双曲线C的方程;
(2)若以k(k≠0)为斜率的直线与双曲线C相交于两个不同的点M, N,且线段MN的
垂直平分线与两坐标轴围成的三角形的面积为,求k的取值范围。
(1) ;(2)
解析试题分析:(1)因为中心在原点的双曲线C的一个焦点是F1(一3,0),一条渐近线的方程是,两个条件即可求出双曲线的方程.
(2)依题意可得通过假设直线的方程,联立双曲线方程消去y,即可得到一个关于x的二次方程,运用韦达定理以及判别式要大于零,即可写出线段MN的中垂线的直线方程,从而求出直线与两坐标轴的交点,即可表示出所求的三角形的面积,从而得到一个等式结合判别式的关系式,即可得到结论.
试题解析:(1)设双曲线的方程为,
由题设得 解得,所以双曲线的方程为;
(2)设直线的方程为,点,的坐标满足方程组,将①式代入②式,得,
整理得,此方程有两个不等实根,于是,
且,
整理得.③ 由根与系数的关系可知线段的中点坐标满足:
,,从而线段的垂直平分线的方程为,此直线与轴,轴的交点坐标分别为,,
由题设可得,整理得,,
将上式代入③式得,整理得,,解得或, 所以的取值范围是.
考点:1.待定系数的应用.2.直线与圆锥曲线的位置关系.3.三角形的面积的表示方法.4.韦达定理.5.代数的运算能力.
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设椭圆+=1(a>b>0)的左,右焦点分别为F1,F2,点P(a,b)满足|PF2|=|F1F2|.
(1)求椭圆的离心率e;
(2)设直线PF2与椭圆相交于A,B两点.若直线PF2与圆(x+1)2+(y-)2=16相交于M,N两点,且|MN|=|AB|,求椭圆的方程.
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设A,B分别是直线y=x和y=-x上的动点,且|AB|=,设O为坐标原点,动点P满足=+.
(1)求点P的轨迹方程;
(2)过点(,0)作两条互相垂直的直线l1,l2,直线l1,l2与点P的轨迹的相交弦分别为CD,EF,设CD,EF的弦中点分别为M,N,求证:直线MN恒过一个定点.
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已知椭圆C:+=1(a>b>0)的右焦点为F(1,0),且点(-1,)在椭圆C上.
(1)求椭圆C的标准方程.
(2)已知点Q(,0),动直线l过点F,且直线l与椭圆C交于A,B两点,证明:·为定值.
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椭圆的离心率为,且过点直线与椭圆M交于A、C两点,直线与椭圆M交于B、D两点,四边形ABCD是平行四边形
(1)求椭圆M的方程;
(2)求证:平行四边形ABCD的对角线AC和BD相交于原点O;
(3)若平行四边形ABCD为菱形,求菱形ABCD的面积的最小值
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如图所示,已知抛物线方程为y2=4x,其焦点为F,准线为l,A点为抛物线上异于顶点的一个动点,射线HAE垂直于准线l,垂足为H,C点在x轴正半轴上,且四边形AHFC是平行四边形,线段AF和AC的延长线分别交抛物线于点B和点D.
(1)证明:∠BAD=∠EAD;
(2)求△ABD面积的最小值,并写出此时A点的坐标.
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已知椭圆的离心率为,短轴一个端点到右焦点的距离为.
(1)求椭圆的方程;
(2)设不与坐标轴平行的直线与椭圆交于两点,坐标原点到直线的距离为,求面积的最大值.
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如图,已知椭圆的离心率是,分别是椭圆的左、右两个顶点,点是椭圆的右焦点。点是轴上位于右侧的一点,且满足.
(1)求椭圆的方程以及点的坐标;
(2)过点作轴的垂线,再作直线与椭圆有且仅有一个公共点,直线交直线于点.求证:以线段为直径的圆恒过定点,并求出定点的坐标.
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