已知椭圆C的中心在原点,焦点y在轴上,焦距为,且过点M。
(1)求椭圆C的方程;
(2)若过点的直线l交椭圆C于A、B两点,且N恰好为AB中点,能否在椭圆C上找到点D,使△ABD的面积最大?若能,求出点D的坐标;若不能,请说明理由。
(1)(2)存在,
解析试题分析:(1)用椭圆的定义可求,根据焦距和可求;也可将点代入设出的椭圆方程解方程组求。(2)用点差法求直线的斜率,设与直线平行且与椭圆相切的直线方程为,直线与椭圆的焦点即为所求点。
试题解析:(1)(方法一)依题意,设椭圆方程为, 1分
则, 2分
因为椭圆两个焦点为,所以
="4" 4分
5分
椭圆的方程为 6分
(方法二)依题意,设椭圆方程为, 1分
则,即,解之得 5分
椭圆C的方程为 6分
(2)如图
(方法一)设两点的坐标分别为,
则 7分
① ②
①-②,得,
9分
设与直线平行且与椭圆相切的直线方程为
联立方程组,消去整理得
由判别式得 12分
由图知,当时,与椭圆的切点为,此时
的面积最大
所以点的坐标为 14分
(方法二)设直线的方程为,联立方程组,
消去整理得
设两点的坐标分别为,则
所以直线AB的方程为,即 9分(以下同法一)
考点:1椭圆方程;2点差法解决中点弦问题;3数形结合。
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已知椭圆:的离心率,原点到过点,的直线的距离是.
(1)求椭圆的方程;
(2)若椭圆上一动点关于直线的对称点为,求 的取值范围;
(3)如果直线交椭圆于不同的两点,,且,都在以为圆心的圆上,求的值.
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设椭圆的右焦点为,直线与轴交于点,若(其中为坐标原点).
(1)求椭圆的方程;
(2)设是椭圆上的任意一点,为圆的任意一条直径(、为直径的两个端点),求的最大值.
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已知为椭圆,的左右焦点,是坐标原点,过作垂直于轴的直线交椭圆于,设 .
(1)证明: 成等比数列;
(2)若的坐标为,求椭圆的方程;
(3)在(2)的椭圆中,过的直线与椭圆交于、两点,若,求直线的方程.
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已知直线l:y=x+,圆O:x2+y2=5,椭圆E:=1(a>b>0)的离心率e=,直线l被圆O截得的弦长与椭圆的短轴长相等.
(1)求椭圆E的方程;
(2)过圆O上任意一点P作椭圆E的两条切线,若切线都存在斜率,求证:两条切线的斜率之积为定值.
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已知、分别是椭圆的左、右焦点.
(1)若是第一象限内该椭圆上的一点,,求点的坐标;
(2)设过定点的直线与椭圆交于不同的两点、,且为锐角(其
中为坐标原点),求直线的斜率的取值范围.
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在直角坐标系xOy中,中心在原点O,焦点在x轴上的椭圆C上的点(2,1)到两焦点的距离之和为4.
(1)求椭圆C的方程;
(2)过椭圆C的右焦点F作直线l与椭圆C分别交于A,B两点,其中点A在x轴下方,且=3.求过O,A,B三点的圆的方程.
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已知中心在坐标原点O的椭圆C经过点A(2,3),且点F(2,0)为其右焦点.
(1)求椭圆C的方程;
(2)是否存在平行于OA的直线l,使得直线l与椭圆C有公共点,且直线OA与l的距离等于4?若存在,求出直线l的方程;若不存在,请说明理由.
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设A(x1,y1),B(x2,y2)是椭圆C:=1(a>b>0)上两点,已知m=,n=,若m·n=0且椭圆的离心率e=,短轴长为2,O为坐标原点.
(1)求椭圆的方程;
(2)试问△AOB的面积是否为定值?如果是,请给予证明;如果不是,请说明理由.
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