已知为椭圆,的左右焦点,是坐标原点,过作垂直于轴的直线交椭圆于,设 .
(1)证明: 成等比数列;
(2)若的坐标为,求椭圆的方程;
(3)在(2)的椭圆中,过的直线与椭圆交于、两点,若,求直线的方程.
(1)详见解析;(2);(3)
解析试题分析:(1)由条件知M点的坐标为(c,y0),其中|y0|=d,知,d=b•=,由此能证明d,b,a成等比数列;
(2)由条件知c=,d=1,知b2=a?1,a2=b2+2,由此能求出椭圆方程;
(3)设点A(x1,y1)、B(x2,y2),当l⊥x轴时,A(-,-1)、B(-,1),所以≠0. 设直线的方程为y=k(x+),代入椭圆方程得(1+2k2)x2+4k2x+4k2?4=0再由韦达定理能够推导出直线的方程.
试题解析:(1)证明:由条件知M点的坐标为,其中,
, ,即成等比数列. 3分
(2)由条件知,椭圆方程为 6分
(3)设点A(x1,y1)、B(x2,y2),当l⊥x轴时,A(-,-1)、B(-,1),所以≠0. 设直线的方程为y=k(x+),代入椭圆方程得(1+2k2)x2+4k2x+4k2?4=0所以①由得
整理后把①式代入解得k=,
所以直线l的方程为.
考点:数列与解析几何的综合.
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设A,B分别是直线y=x和y=-x上的动点,且|AB|=,设O为坐标原点,动点P满足=+.
(1)求点P的轨迹方程;
(2)过点(,0)作两条互相垂直的直线l1,l2,直线l1,l2与点P的轨迹的相交弦分别为CD,EF,设CD,EF的弦中点分别为M,N,求证:直线MN恒过一个定点.
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如图所示,已知抛物线方程为y2=4x,其焦点为F,准线为l,A点为抛物线上异于顶点的一个动点,射线HAE垂直于准线l,垂足为H,C点在x轴正半轴上,且四边形AHFC是平行四边形,线段AF和AC的延长线分别交抛物线于点B和点D.
(1)证明:∠BAD=∠EAD;
(2)求△ABD面积的最小值,并写出此时A点的坐标.
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已知椭圆的离心率为,短轴一个端点到右焦点的距离为.
(1)求椭圆的方程;
(2)设不与坐标轴平行的直线与椭圆交于两点,坐标原点到直线的距离为,求面积的最大值.
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在平面直角坐标系xOy中,经过点(0,)且斜率为k的直线l与椭圆+y2=1有两个不同的交点P和Q.
(1)求k的取值范围;
(2)设椭圆与x轴正半轴、y轴正半轴的交点分别为A,B,是否存在常数k,使得向量+与共线?如果存在,求k的值;如果不存在,请说明理由.
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已知椭圆C:=1(a>b>0)的离心率为,一条准线l:x=2.
(1)求椭圆C的方程;
(2)设O为坐标原点,M是l上的点,F为椭圆C的右焦点,过点F作OM的垂线与以OM为直径的圆D交于P,Q两点.
①若PQ=,求圆D的方程;
②若M是l上的动点,求证点P在定圆上,并求该定圆的方程.
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已知椭圆C的中心在原点,焦点y在轴上,焦距为,且过点M。
(1)求椭圆C的方程;
(2)若过点的直线l交椭圆C于A、B两点,且N恰好为AB中点,能否在椭圆C上找到点D,使△ABD的面积最大?若能,求出点D的坐标;若不能,请说明理由。
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如图,已知椭圆的离心率是,分别是椭圆的左、右两个顶点,点是椭圆的右焦点。点是轴上位于右侧的一点,且满足.
(1)求椭圆的方程以及点的坐标;
(2)过点作轴的垂线,再作直线与椭圆有且仅有一个公共点,直线交直线于点.求证:以线段为直径的圆恒过定点,并求出定点的坐标.
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已知椭圆中心在坐标原点,焦点在x轴上,离心率为,它的一个顶点为抛物线x2=4y的焦点.
(1)求椭圆方程;
(2)若直线y=x-1与抛物线相切于点A,求以A为圆心且与抛物线的准线相切的圆的方程;
(3)若斜率为1的直线交椭圆于M、N两点,求△OMN面积的最大值(O为坐标原点).
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