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(1)已知定点,动点N满足(O为坐标原点),,求点P的轨迹方程.
(2)如图,已知椭圆的上、下顶点分别为,点在椭圆上,且异于点,直线与直线分别交于点

(ⅰ)设直线的斜率分别为,求证:为定值;
(ⅱ)当点运动时,以为直径的圆是否经过定点?请证明你的结论.

(1);(2),以为直径的圆恒过定点.

解析试题分析:本题主要考查双曲线的定义、标准方程,椭圆的标准方程等基础知识,考查数形结合思想,考查学生的分析问题解决问题的能力和计算能力.第一问,利用得到N是的中点,数形结合,利用得M、P、共线,在三角形中,利用中位线得,利用得到F1M⊥PN,在三角形中,中点和高的垂足重合,得|PM|=|PF1|,由双曲线的定义可知点P的轨迹为双曲线,(ⅰ)利用椭圆的标准方程得到点A、B的坐标,设出点P的坐标,从而求出,利用点P在椭圆上进行的转化,计算出结果为常数即可,(ⅱ)设出点Q的坐标,根据已知条件求出点M、N的坐标,写出坐标,利用,列出等式,求出定点坐标.
试题解析:(1)连接ON∵ ∴点N是MF1中点 ∴|MF2|=2|NO|=2
 ∴F1M⊥PN   ∴|PM|=|PF1|
∴|∣PF1|-|PF2∣|=||PM|-|PF2||=|MF2|=2<|F1F2|
由双曲线的定义可知:点P的轨迹是以F1,F2为焦点的双曲线.
点P的轨迹方程是                    4分
(2)(ⅰ),令,则由题设可知
直线的斜率的斜率
又点在椭圆上,所以),
从而有.          8分
(ⅱ)设点是以为直径的圆上任意一点,则,又易求 
.
所以.
故有.又,化简后得到以
为直径的圆的方程为.    11分
,解得.   13分
所以以为直径的圆恒过定点.    14分
考点:双曲线的定义、标准方程,椭圆的标准方程.

练习册系列答案
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科目:高中数学 来源: 题型:解答题

已知椭圆的离心率,且直线是抛物线的一条切线.
(1)求椭圆的方程;
(2)点P 为椭圆上一点,直线,判断l与椭圆的位置关系并给出理由;
(3)过椭圆上一点P作椭圆的切线交直线于点A,试判断线段AP为直径的圆是否恒过定点,若是,求出定点坐标;若不是,请说明理由.

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如图已知抛物线过点,直线两点,过点且平行于轴的直线分别与直线轴相交于点
 
(1)求的值;
(2)是否存在定点,当直线过点时,△与△的面积相等?若存在,求出点的坐标;若不存在,请说明理由.

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已知椭圆)的右焦点,右顶点,且

(1)求椭圆的标准方程;
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已知椭圆的方程为,其中.
(1)求椭圆形状最圆时的方程;
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(1)当关于点对称时,求证:
(2)当直线经过点时,求证:不可能为等边三角形.

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已知椭圆的短半轴长为,动点在直线为半焦距)上.
(1)求椭圆的标准方程;
(2)求以为直径且被直线截得的弦长为的圆的方程;
(3)设是椭圆的右焦点,过点的垂线与以为直径的圆交于点
求证:线段的长为定值,并求出这个定值.

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已知椭圆经过点,离心率为
(1)求椭圆的方程;
(2)直线与椭圆交于两点,点是椭圆的右顶点.直线与直线分别与轴交于点,试问以线段为直径的圆是否过轴上的定点?若是,求出定点坐标;若不是,说明理由.

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如图,已知梯形ABCD中|AB|=2|CD|,点E满足=λ,双曲线过C、D、E三点,且以A、B为焦点.当≤λ≤时,求双曲线离心率e的取值范围.

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