已知椭圆
的方程为
,其中
.
（1）求椭圆形状最圆时的方程；
（2）若椭圆最圆时任意两条互相垂直的切线相交于点
，证明：点在一个定圆上.
（1）
；（2）证明过程详见解析.
解析试题分析：本题主要考查椭圆的标准方程及其几何性质、韦达定理等基础知识，考查学生的分析问题解决问题的能力、转化能力和计算能力.第一问，根据椭圆的标准方程应满足的条件得:
，且
，则知椭圆的长轴在y轴上，而椭圆形状最圆时e最小，则先得到e的表达式，再根据三角函数的有界性求表达式的最小值，得到取得最小值时的
的值，从而得到椭圆的标准方程；第二问，设出交点P的坐标，根据直线的斜率是否存在，分2种情况讨论，当斜率存在时，设出直线方程，与椭圆方程联立，得到关于k的方程，由于两切线垂直，则
，利用上述方程的两根之积得到
的值，整理出方程形式，再验证当斜率不存在时P点坐标，得到最终结论.
试题解析：（1）根据已知条件有，且，故椭圆的长轴在
轴上.
，当且仅当
时取等号.
由于椭圆的离心率
最小时其形状最圆，故最圆的椭圆方程为. 5分
（2）设交点
，过交点的直线
与椭圆相切.
(1)当斜率不存在或等于零时，易得点的坐标为
. 6分
(2)当斜率存在且非零时，则
设斜率为
，则直线：
，
与椭圆方程联立消，得：
.
由相切，
，
化简整理得
.①
因过椭圆外一点有两条直线与椭圆相切，由已知两切线垂直，故
，而
为方程①的两根，
故
，整理得：
.
又也满足上式，
故点的轨迹方程为
，即点在定圆上. 13分
考点：椭圆的标准方程及其几何性质、韦达定理.
名校课堂系列答案科目：高中数学 来源： 题型：解答题
已知椭圆
的离心率为
，以原点为圆心、椭圆的短半轴长为半径的圆与直线
相切．
（1）求椭圆
的方程；
（2）设
，过点
作直线
(不与
轴重合)交椭圆于
、
两点，连结
、
分别交直线
于
、
两点，试探究直线
、
的斜率之积是否为定值，若为定值，请求出；若不为定值，请说明理由．
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科目：高中数学 来源： 题型：解答题
已知抛物线C：
，点A、B在抛物线C上.
（1）若直线AB过点M（2p，0），且
=4p，求过A，B，O（O为坐标原点）三点的圆的方程；
（2）设直线OA、OB的倾斜角分别为
，且
，问直线AB是否会过某一定点？若是，求出这一定点的坐标，若不是，请说明理由.
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科目：高中数学 来源： 题型：解答题
巳知椭圆
的离心率是
.
⑴若点P(2,1)在椭圆上，求椭圆的方程；
⑵若存在过点A(1,0)的直线
，使点C(2,0)关于直线的对称点在椭圆上，求椭圆的焦距的取值范围.
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科目：高中数学 来源： 题型：解答题
如图，在平面直角坐标系
中，已知
，
，
是椭圆
上不同的三点，
，
，在第三象限，线段
的中点在直线
上．
（1）求椭圆的标准方程；
（2）求点C的坐标；
（3）设动点
在椭圆上（异于点，，）且直线PB，PC分别交直线OA于
，
两点，证明
为定值并求出该定值．
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科目：高中数学 来源： 题型：解答题
（1）已知定点
、
，动点N满足
（O为坐标原点），
，
，
，求点P的轨迹方程.
（2）如图，已知椭圆
的上、下顶点分别为
，点
在椭圆上，且异于点，直线
与直线
分别交于点
，
（ⅰ）设直线的斜率分别为
、
，求证：
为定值；
（ⅱ）当点运动时，以
为直径的圆是否经过定点？请证明你的结论．
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科目：高中数学 来源： 题型：解答题
已知椭圆
的焦距为
，过右焦点和短轴一个端点的直线的斜率为
，
为坐标原点.
（1）求椭圆
的方程.
（2）设斜率为
的直线
与相交于
、
两点，记
面积的最大值为
，证明：
.
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已知椭圆
：
的离心率为
，其长轴长与短轴长的和等于6．
（1）求椭圆的方程；
（2）如图，设椭圆的上、下顶点分别为
，
是椭圆上异于的任意一点，直线
分别交
轴于点
，若直线
与过点
的圆
相切，切点为
．证明：线段的长为定值．
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科目：高中数学 来源： 题型：解答题
已知曲线E：ax2＋by2＝1(a>0，b>0)，经过点M
的直线l与曲线E交于点A、B，且
＝－2
.
(1)若点B的坐标为(0，2)，求曲线E的方程；
(2)若a＝b＝1，求直线AB的方程．
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