已知椭圆
的离心率为
，以原点为圆心、椭圆的短半轴长为半径的圆与直线
相切．
（1）求椭圆
的方程；
（2）设
，过点
作直线
(不与
轴重合)交椭圆于
、
两点，连结
、
分别交直线
于
、
两点，试探究直线
、
的斜率之积是否为定值，若为定值，请求出；若不为定值，请说明理由．
（1）
；（2）详见解析.
解析试题分析：（1）由直线和圆相切，求
，再由离心率
，得
，从而求
，进而求椭圆的方程；（2）要说明直线、的斜率之积是否为定值，关键是确定、两点的坐标.首先设直线
的方程，并与椭圆联立，设
，利用三点共线确定、两点的坐标的坐标，再计算直线、的斜率之积，这时会涉及到
，结合根与系数的关系，研究其值是否为定值即可．
试题解析：（1）
，故
4分
（2）设，若直线
与纵轴垂直， 
则
中有一点与
重合，与题意不符，
故可设直线. 5分
将其与椭圆方程联立，消去得：
6分
7分
由
三点共线可知，
，
， 8分
同理可得
9分
10分
而
11分
所以
故直线、的斜率为定值
. 13分
考点：1、椭圆的标准方程和简单几何性质；2、直线和椭圆的位置关系.
53随堂测系列答案科目：高中数学 来源： 题型：解答题
（已知抛物线
（
）的准线与
轴交于点
．
（1）求抛物线的方程，并写出焦点坐标；
（2）是否存在过焦点的直线
（直线与抛物线交于点
，
），使得三角形
的面积
？若存在，请求出直线的方程；若不存在，请说明理由．
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科目：高中数学 来源： 题型：解答题
如图所示，离心率为
的椭圆
上的点到其左焦点的距离的最大值为3，过椭圆
内一点
的两条直线分别与椭圆交于点
、
和
、
，且满足
，其中
为常数，过点作
的平行线交椭圆于
、
两点.
（1）求椭圆的方程；
（2）若点
，求直线
的方程，并证明点平分线段.
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科目：高中数学 来源： 题型：解答题
已知椭圆
的离心率
，且直线
是抛物线
的一条切线.
（1）求椭圆的方程；
（2）点P 
为椭圆上一点，直线
，判断l与椭圆的位置关系并给出理由；
（3）过椭圆上一点P作椭圆的切线交直线
于点A，试判断线段AP为直径的圆是否恒过定点，若是，求出定点坐标；若不是，请说明理由.
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科目：高中数学 来源： 题型：解答题
已知抛物线C1：x2=y，圆C2：x2+(y－4)2=1的圆心为点M
(1)求点M到抛物线C1的准线的距离；
(2)已知点P是抛物线C1上一点（异于原点），过点P作圆C2的两条切线，交抛物线C1于A，B两点，若过M，P两点的直线l垂直于AB，求直线l的方程
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科目：高中数学 来源： 题型：解答题
已知椭圆
的一个顶点和两个焦点构成的三角形的面积为4．
（1）求椭圆
的方程；
（2）已知直线
与椭圆交于
、
两点，试问，是否存在
轴上的点
，使得对任意的
，
为定值，若存在，求出
点的坐标，若不存在，说明理由.
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过点
和点
．
的方程；
的直线
与椭圆
两点，且
，求直线
：
的一个焦点为
，离心率为
．设
是椭圆
的直线
交椭圆于
，
两点.
的最大值.
的方程为
,其中
.
，证明：点