已知抛物线C：
，点A、B在抛物线C上.
（1）若直线AB过点M（2p，0），且
=4p，求过A，B，O（O为坐标原点）三点的圆的方程；
（2）设直线OA、OB的倾斜角分别为
，且
，问直线AB是否会过某一定点？若是，求出这一定点的坐标，若不是，请说明理由.
（1）
；（2）过定点
解析试题分析：（1）当直线
斜率不存在时方程为
，与
的交点分别为M
，N
，弦长
。此时
中
，
，边的中线长为
,所以是直角三角形，过
三点的圆的圆心为边的中点
，半径为
，则可得此圆的标准方程。（2）设点
，为了省去对斜率存在与否的讨论可设直线AB的方程为：
。将直线与抛物线方程联立，消去
整理为关于
的一元二次方程，可得根与系数的关系。根据用正切的两角和公式展开可得关于
两点坐标
间的关系。根据两关系式可得
与
间的关系，故此可判断直线是否过定点。
试题解析：（1）直线与抛物线的两个交点坐标分别是：M，N，弦长，故三角形ABO是
，所以过A，B，O三点的圆方程是：
（2）解：设点，直线AB的方程为：，它与抛物线相交，由方程组
消去x可得
，故
，
，
这样，tan
即1=
，所以
，所以直线AB的方程可以写成为：
，即
，所以直线AB过定点.
考点：1圆的标准方程；2抛物线与直线的位置关系问题；3直线过定点问题。
导学与测试系列答案
新非凡教辅冲刺100分系列答案科目：高中数学 来源： 题型：解答题
如图所示，离心率为
的椭圆
上的点到其左焦点的距离的最大值为3，过椭圆
内一点
的两条直线分别与椭圆交于点
、
和
、
，且满足
，其中
为常数，过点作
的平行线交椭圆于
、
两点.
（1）求椭圆的方程；
（2）若点
，求直线
的方程，并证明点平分线段.
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科目：高中数学 来源： 题型：解答题
已知抛物线C1：x2=y，圆C2：x2+(y－4)2=1的圆心为点M
(1)求点M到抛物线C1的准线的距离；
(2)已知点P是抛物线C1上一点（异于原点），过点P作圆C2的两条切线，交抛物线C1于A，B两点，若过M，P两点的直线l垂直于AB，求直线l的方程
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科目：高中数学 来源： 题型：解答题
已知椭圆
的一个顶点和两个焦点构成的三角形的面积为4．
（1）求椭圆
的方程；
（2）已知直线
与椭圆交于
、
两点，试问，是否存在
轴上的点
，使得对任意的
，
为定值，若存在，求出
点的坐标，若不存在，说明理由.
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科目：高中数学 来源： 题型：解答题
已知椭圆
的左右顶点分别为
，离心率
．
（1）求椭圆的方程；
（2）若点
为曲线
:
上任一点（点不同于
），直线
与直线
交于点
，
为线段
的中点，试判断直线
与曲线的位置关系，并证明你的结论．
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科目：高中数学 来源： 题型：解答题
如图已知抛物线
：
过点
，直线
交于
，
两点，过点
且平行于
轴的直线分别与直线和
轴相交于点
，
．
(1)求
的值；
(2)是否存在定点
，当直线过点时，△
与△
的面积相等？若存在，求出点的坐标；若不存在，请说明理由.
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科目：高中数学 来源： 题型：解答题
抛物线
，直线
过抛物线
的焦点
，交
轴于点
.
（1）求证：
；
（2）过作抛物线的切线，切点为
（异于原点），
（i）
是否恒成等差数列，请说明理由；
（ii）
重心的轨迹是什么图形，请说明理由.
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科目：高中数学 来源： 题型：解答题
给定椭圆
：
，称圆心在原点
，半径为
的圆是椭圆的“准圆”.若椭圆的一个焦点为
，其短轴上的一个端点到
的距离为
.
（1）求椭圆的方程和其“准圆”方程；
（2）点
是椭圆的“准圆”上的动点，过点作椭圆的切线
交“准圆”于点
.
（ⅰ）当点为“准圆”与
轴正半轴的交点时，求直线的方程，
并证明
；
（ⅱ）求证：线段
的长为定值.
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的方程为
,其中
.
，证明：点