Question

如图已知抛物线：过点，直线交于，两点，过点且平行于轴的直线分别与直线和轴相交于点，．
 
(1)求的值；
(2)是否存在定点，当直线过点时，△与△的面积相等？若存在，求出点的坐标；若不存在，请说明理由.

Answer 1

（1）p=1;（2）详见解析.

解析试题分析：（1）因为在抛物线C上，所以将点P坐标代入方程，即可求得p=1．
（2）先假设存在定点Q，设A(x₁，y₁)，B(x₂，y₂)，AB的方程为y=kx+b．联立得，当时，有．由题意知，，
因为△PAM与△PBN的面积相等，所以，即解得或．所求的定点Q即为点A，即l过Q(0,0)或Q(2,2)时，满足条件．.
试题解析：（1）因为在抛物线C上，所以1=2p·，得p=1．
（2）假设存在定点Q，设A(x₁，y₁)，B(x₂，y₂)，AB的方程为y=kx+b．
联立得，当时，有．
所以()()=(*)由题意知，，
因为△PAM与△PBN的面积相等，所以，
即，
也即
根据(*)式，得()²=1，解得或．
所求的定点Q即为点A，
即l过Q(0,0)或Q(2,2)时，满足条件．
考点：直线与抛物线的位置关系.