巳知椭圆
的离心率是
.
⑴若点P(2,1)在椭圆上，求椭圆的方程；
⑵若存在过点A(1,0)的直线
，使点C(2,0)关于直线的对称点在椭圆上，求椭圆的焦距的取值范围.
⑴
；⑵椭圆的焦距的取值范围是
.
解析试题分析：⑴
，
，再将点
的坐标代入椭圆的方程，这样便有三个方程，三者联立，即可求出
，从而得椭圆的方程.⑵显然斜率不存在或斜率等于0时，不可能满足题意.故可设直线l的方程为：
，这样可将点C(2, 0)关于直线l的对称点的坐标用
表示出来，然后代入椭圆的方程，从而得一关于的方程：
.设
，因此原问题转化为关于t的方程
有正根.根据二次方程根的分布可得
.进而求得椭圆的焦距的取值范围.
试题解析：⑴
,
∵点P(2,1)在椭圆上,∴
5分
⑵依题意，直线l的斜率存在且不为0，则直线l的方程为：.
设点C(2, 0)关于直线l的对称点为
，则
若点在椭圆
上，则
设，因此原问题转化为关于t的方程有正根.
①当
时，方程一定有正根；
②当
时，则有
∴综上得.
又椭圆的焦距为
.
故椭圆的焦距的取值范围是(0,4] 13分
考点：1、椭圆的方程；2、直线与椭圆.
开心快乐假期作业暑假作业西安出版社系列答案
名题训练系列答案科目：高中数学 来源： 题型：解答题
已知椭圆
的一个顶点和两个焦点构成的三角形的面积为4．
（1）求椭圆
的方程；
（2）已知直线
与椭圆交于
、
两点，试问，是否存在
轴上的点
，使得对任意的
，
为定值，若存在，求出
点的坐标，若不存在，说明理由.
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科目：高中数学 来源： 题型：解答题
如图已知抛物线
：
过点
，直线
交于
，
两点，过点
且平行于
轴的直线分别与直线和
轴相交于点
，
．
(1)求
的值；
(2)是否存在定点
，当直线过点时，△
与△
的面积相等？若存在，求出点的坐标；若不存在，请说明理由.
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科目：高中数学 来源： 题型：解答题
抛物线
，直线
过抛物线
的焦点
，交
轴于点
.
（1）求证：
；
（2）过作抛物线的切线，切点为
（异于原点），
（i）
是否恒成等差数列，请说明理由；
（ii）
重心的轨迹是什么图形，请说明理由.
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科目：高中数学 来源： 题型：解答题
已知椭圆
：
（
）的右焦点
，右顶点
,且
．
(1)求椭圆的标准方程；
（2）若动直线
：
与椭圆有且只有一个交点
，且与直线
交于点
,问：是否存在一个定点
,使得
.若存在，求出点
坐标；若不存在，说明理由.
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科目：高中数学 来源： 题型：解答题
已知椭圆
的短半轴长为
，动点
在直线
（
为半焦距）上．
（1）求椭圆的标准方程；
（2）求以
为直径且被直线
截得的弦长为
的圆的方程；
（3）设
是椭圆的右焦点，过点作的垂线与以为直径的圆交于点
，
求证：线段
的长为定值，并求出这个定值．
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科目：高中数学 来源： 题型：解答题
如图；已知椭圆C:
的离心率为
，以椭圆的左顶点T为圆心作圆T:
设圆T与椭圆C交于点M、N.
（1）求椭圆C的方程；
（2）求
的最小值，并求此时圆T的方程;
（3）设点P是椭圆C上异于M,N的任意一点，且直线MP,NP分别与
轴交于点R，S，O为坐标原点。求证：
为定值.
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过点
和点
．
的方程；
的直线
与椭圆
两点，且
，求直线
的方程为
,其中
.
，证明：点