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已知椭圆的短半轴长为,动点在直线为半焦距)上.
(1)求椭圆的标准方程;
(2)求以为直径且被直线截得的弦长为的圆的方程;
(3)设是椭圆的右焦点,过点的垂线与以为直径的圆交于点
求证:线段的长为定值,并求出这个定值.

(1),(2),(3)

解析试题分析:(1)求椭圆标准方程,基本方法为待定系数法.由题意得,因此可解得.(2)圆的弦长问题,通常化为直角三角形,即半径、半弦长、圆心到直线距离构成一个直角三角形. 圆心为,圆心到直线的距离,因此,所求圆的方程为. (3)涉及定值问题,一般通过计算,以算代证.本题有两种算法,一是利用射影定理,只需求出点上射影的坐标,即由两直线方程,因此.二是利用向量坐标表示,即设,根据两个垂直,消去参数t,确定.
试题解析:(1)由点在直线上,得
, ∴. 从而.                 2分
所以椭圆方程为.                            4分
(2)以为直径的圆的方程为
. 其圆心为,半径.    6分
因为以为直径的圆被直线截得的弦长为
所以圆心到直线的距离
所以,解得.所求圆的方程为.  9分
(3)方法一:由平几知:
直线,直线


所以线段的长为定值.                                     13分
方法二:设



所以,为定值.                             13分
考点:椭圆方程,圆的弦长,定值问题

练习册系列答案
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