已知椭圆的短半轴长为,动点在直线(为半焦距)上.
(1)求椭圆的标准方程;
(2)求以为直径且被直线截得的弦长为的圆的方程;
(3)设是椭圆的右焦点,过点作的垂线与以为直径的圆交于点,
求证:线段的长为定值,并求出这个定值.
(1),(2),(3) .
解析试题分析:(1)求椭圆标准方程,基本方法为待定系数法.由题意得及,因此可解得,.(2)圆的弦长问题,通常化为直角三角形,即半径、半弦长、圆心到直线距离构成一个直角三角形. 圆心为,圆心到直线的距离,因此,,所求圆的方程为. (3)涉及定值问题,一般通过计算,以算代证.本题有两种算法,一是利用射影定理,只需求出点在上射影的坐标,即由两直线方程得,因此.二是利用向量坐标表示,即设,根据两个垂直,消去参数t,确定.
试题解析:(1)由点在直线上,得,
故, ∴. 从而. 2分
所以椭圆方程为. 4分
(2)以为直径的圆的方程为.
即. 其圆心为,半径. 6分
因为以为直径的圆被直线截得的弦长为,
所以圆心到直线的距离.
所以,解得.所求圆的方程为. 9分
(3)方法一:由平几知:,
直线,直线,
由得.
∴.
所以线段的长为定值. 13分
方法二:设,
则.
.
又.
所以,为定值. 13分
考点:椭圆方程,圆的弦长,定值问题
科目:高中数学 来源: 题型:解答题
巳知椭圆的离心率是.
⑴若点P(2,1)在椭圆上,求椭圆的方程;
⑵若存在过点A(1,0)的直线,使点C(2,0)关于直线的对称点在椭圆上,求椭圆的焦距的取值范围.
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科目:高中数学 来源: 题型:解答题
(1)已知定点、,动点N满足(O为坐标原点),,,,求点P的轨迹方程.
(2)如图,已知椭圆的上、下顶点分别为,点在椭圆上,且异于点,直线与直线分别交于点,
(ⅰ)设直线的斜率分别为、,求证:为定值;
(ⅱ)当点运动时,以为直径的圆是否经过定点?请证明你的结论.
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科目:高中数学 来源: 题型:解答题
已知椭圆的焦距为,过右焦点和短轴一个端点的直线的斜率为,为坐标原点.
(1)求椭圆的方程.
(2)设斜率为的直线与相交于、两点,记面积的最大值为,证明:.
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科目:高中数学 来源: 题型:解答题
已知椭圆:的离心率为,其长轴长与短轴长的和等于6.
(1)求椭圆的方程;
(2)如图,设椭圆的上、下顶点分别为,是椭圆上异于的任意一点,直线分别交轴于点,若直线与过点的圆相切,切点为.证明:线段的长为定值.
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科目:高中数学 来源: 题型:解答题
如图,已知点是离心率为的椭圆:上的一点,斜率为的直线交椭圆于,两点,且、、三点互不重合.
(1)求椭圆的方程;(2)求证:直线,的斜率之和为定值.
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