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已知椭圆的焦点在轴上,离心率为,对称轴为坐标轴,且经过点
(1)求椭圆的方程;
(2)直线与椭圆相交于两点, 为原点,在上分别存在异于点的点,使得在以为直径的圆外,求直线斜率的取值范围.

(1) (2)

解析试题分析:(1)利用待定系数法设椭圆方程为,然后利用题目条件建立方程,解方程即可;(2)联立直线与椭圆方程,得到关于x的一元二次方程,,然后利用韦达定理结合点在圆外为锐角,即,建立不等式求直线斜率的取值范围即可.
试题解析:(1)依题意,可设椭圆的方程为
 
∵ 椭圆经过点,则,解得
∴ 椭圆的方程为 
(2)联立方程组,消去整理得 
∵ 直线与椭圆有两个交点,
,解得  ①
∵ 原点在以为直径的圆外,∴为锐角,即
分别在上且异于点,即 
两点坐标分别为


解得  ,                       ②
综合①②可知: 
考点:(1)椭圆的标准方程;(2)点与圆的位置关系;(3)韦达定理.

练习册系列答案
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科目:高中数学 来源: 题型:解答题

椭圆c:(a>b>0)的离心率为,过其右焦点F与长轴垂直的弦长为1,
(1)求椭圆C的方程;
(2)设椭圆C的左右顶点分别为A,B,点P是直线x=1上的动点,直线PA与椭圆的另一个交点为M,直线PB与椭圆的另一个交点为N,求证:直线MN经过一定点.

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科目:高中数学 来源: 题型:解答题

如图,圆与直线相切于点,与正半轴交于点,与直线在第一象限的交点为.点为圆上任一点,且满足,动点的轨迹记为曲线

(1)求圆的方程及曲线的方程;
(2)若两条直线分别交曲线于点,求四边形面积的最大值,并求此时的的值.
(3)证明:曲线为椭圆,并求椭圆的焦点坐标.

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科目:高中数学 来源: 题型:解答题

的内切圆与三边的切点分别为,已知,内切圆圆心,设点A的轨迹为R.

(1)求R的方程;
(2)过点C的动直线m交曲线R于不同的两点M,N,问在x轴上是否存在一定点Q(Q不与C重合),使恒成立,若求出Q点的坐标,若不存在,说明理由.

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科目:高中数学 来源: 题型:解答题

如图,已知焦点在轴上的椭圆经过点,直线
交椭圆于不同的两点.

(1)求该椭圆的标准方程;
(2)求实数的取值范围;
(3)是否存在实数,使△是以为直角的直角三角形,若存在,求出的值,若不存,请说明理由.

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科目:高中数学 来源: 题型:解答题

已知椭圆:的离心率为,过椭圆右焦点的直线与椭圆交于点(点在第一象限).
(1)求椭圆的方程;
(2)已知为椭圆的左顶点,平行于的直线与椭圆相交于两点.判断直线是否关于直线对称,并说明理由.

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科目:高中数学 来源: 题型:解答题

如图,在平面直角坐标系中,已知是椭圆上不同的三点,在第三象限,线段的中点在直线上.

(1)求椭圆的标准方程;
(2)求点C的坐标;
(3)设动点在椭圆上(异于点)且直线PBPC分别交直线OA两点,证明为定值并求出该定值.

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科目:高中数学 来源: 题型:解答题

如图,在平面直角坐标系xOy中,已知椭圆=1的左、右顶点为A、B,右焦点为F.设过点T(t,m)的直线TA、TB与椭圆分别交于点M(x1,y1)、N(x2,y2),其中m>0,y1>0,y2<0.

(1)设动点P满足PF2-PB2=4,求点P的轨迹;
(2)设x1=2,x2,求点T的坐标;
(3)设t=9,求证:直线MN必过x轴上的一定点(其坐标与m无关).

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科目:高中数学 来源: 题型:解答题

已知双曲线=1(a>0,b>0)的两条渐近线方程为y=±x,若顶点到渐近线的距离为1,求双曲线方程.

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