Question

6．已知一圆经过点A（3，1），B（-1，3），且它的圆心在直线3x-y-2=0上．
（1）求此圆的方程；
（2）若点D为所求圆上任意一点，且点C（3，0），求线段CD的中点M的轨迹方程．

Answer 1

分析 （1）首先设出方程，将点坐标代入得到关于参数的方程组，通过解方程组得到参数值，从而确定其方程；
（2）首先设出点M的坐标，利用中点得到点D坐标，代入圆的方程整理化简得到的中点M的轨迹方程．

解答 解：（1）由已知可设圆心N（a，3a-2），又由已知得|NA|=|NB|，
从而有$\sqrt{（a-3）^{2}+（3a-2-1）^{2}}$=$\sqrt{（a+1）^{2}+（3a-2-3）^{2}}$，解得：a=2．
于是圆N的圆心N（2，4），半径r=$\sqrt{10}$．
所以，圆N的方程为（x-2）²+（y-4）²=10．
（2）设M（x，y），又点D是圆N：（x-2）²+（y-4）²=10上任意一点，可设D（2+$\sqrt{10}$cosα，4+$\sqrt{10}$sinα）．
∵C（3，0），点M是线段CD的中点，
∴有x=$\frac{3+2+\sqrt{10}cosα}{2}$，y=$\frac{0+4+\sqrt{10}sinα}{2}$，
消去参数α得：（x-$\frac{5}{2}$）²+（y-2）²=$\frac{5}{2}$．
故所求的轨迹方程为：（x-$\frac{5}{2}$）²+（y-2）²=$\frac{5}{2}$

点评 本题考查圆的方程，考查参数法，圆的方程一般采用待定系数法，属于中档题．