Question

11．在平面直角坐标系xOy中，点P（x₀，y₀）（y₀≠0）在椭圆C：$\frac{x^2}{2}+{y^2}$=1上，过点P的直线l的方程为$\frac{{{x_0}x}}{2}+{y_0}$y=1．
（Ⅰ）求椭圆C的离心率；
（Ⅱ）若直线l与x轴、y轴分别相交于A，B两点，试求△OAB面积的最小值；
（Ⅲ）设椭圆C的左、右焦点分别为F₁，F₂，点Q与点F₁关于直线l对称，求证：点Q，P，F₂三点共线．

Answer 1

分析 （Ⅰ）求得椭圆C的a，b，c，运用离心率公式计算即可得到所求值；
（Ⅱ）在直线l中，分别令x=0，y=0，求得A，B的坐标，求得三角形OAB的面积，由P代入椭圆方程，运用基本不等式即可得到所求最小值；
（Ⅲ）讨论①当x₀=0时，P（0，±1），②当x₀≠0时，设点Q（m，n），运用对称，分别求得Q的坐标，运用三点共线的条件：斜率相等，即可得证．

解答 解：（Ⅰ）依题意可知$a=\sqrt{2}$，$c=\sqrt{2-1}=1$，
所以椭圆C离心率为$e=\frac{1}{{\sqrt{2}}}=\frac{{\sqrt{2}}}{2}$；
（Ⅱ）因为直线l与x轴，y轴分别相交于A，B两点，所以x₀≠0，y₀≠0．
令y=0，由$\frac{{{x_0}x}}{2}+{y_0}y=1$得$x=\frac{2}{x_0}$，则$A（\frac{2}{x_0}，0）$．
令x=0，由$\frac{{{x_0}x}}{2}+{y_0}y=1$得$y=\frac{1}{y_0}$，则$B（0，\frac{1}{y_0}）$．
所以△OAB的面积S_△OAB=$\frac{1}{2}$|OA|•OB|=$\frac{1}{2}$|$\frac{2}{{x}_{0}{y}_{0}}$|=$\frac{1}{|{x}_{0}{y}_{0}|}$．
因为点P（x₀，y₀）在椭圆C：$\frac{x^2}{2}+{y^2}=1$上，所以$\frac{{{x_0}^2}}{2}+{y_0}^2=1$．
所以1=$\frac{{{x}_{0}}^{2}}{2}$+y₀²≥2•$\frac{|{x}_{0}{y}_{0}|}{\sqrt{2}}$，即$|{{x_0}{y_0}}|≤\frac{{\sqrt{2}}}{2}$，则$\frac{1}{{|{{x_0}{y_0}}|}}≥\sqrt{2}$．
所以S_△OAB≥$\sqrt{2}$，
当且仅当$\frac{{{x_0}^2}}{2}={y_0}^2$，即${x_0}=±1，{y_0}=±\frac{{\sqrt{2}}}{2}$时，
△OAB面积的最小值为$\sqrt{2}$． 
（Ⅲ）证明：①当x₀=0时，P（0，±1）．
当直线l：y=1时，易得Q（-1，2），此时${k_{{F_2}P}}=-1$，${k_{{F_2}Q}}=-1$．
因为${k_{{F_2}Q}}={k_{{F_2}P}}$，所以三点Q，P，F₂共线．
同理，当直线l：y=-1时，三点Q，P，F₂共线．
②当x₀≠0时，设点Q（m，n），因为点Q与点F₁关于直线l对称，
所以$\left\{{\begin{array}{l}{\frac{x_0}{2}•\frac{m-1}{2}+{y_0}•\frac{n}{2}=1}\\{\frac{{\frac{n}{2}-0}}{{\frac{m-1}{2}+1}}•（-\frac{x_0}{{2{y_0}}}）=-1}\end{array}}\right.$整理得$\left\{{\begin{array}{l}{{x_0}m+2{y_0}n-{x_0}-4=0}\\{2{y_0}m-{x_0}n+2{y_0}=0}\end{array}}\right.$
解得$\left\{{\begin{array}{l}{m=\frac{{x_0^2+4{x_0}-4y_0^2}}{4y_0^2+x_0^2}}\\{n=\frac{{4{x_0}{y_0}+8{y_0}}}{4y_0^2+x_0^2}}\end{array}}\right.$，
所以点$Q（\frac{{x_0^2+4{x_0}-4y_0^2}}{4y_0^2+x_0^2}，\frac{{4{x_0}{y_0}+8{y_0}}}{4y_0^2+x_0^2}）$．
又因为$\overrightarrow{{F_2}P}=（{x_0}-1，{y_0}）$，$\overrightarrow{{F_2}Q}=（\frac{{x_0^2+4{x_0}-4y_0^2}}{4y_0^2+x_0^2}-1，\frac{{4{x_0}{y_0}+8{y_0}}}{4y_0^2+x_0^2}）$，
且$（\frac{{x_0^2+4{x_0}-4y_0^2}}{4y_0^2+x_0^2}-1）•{y_0}-\frac{{4{x_0}{y_0}+8{y_0}}}{4y_0^2+x_0^2}•（{x_0}-1）={y_0}•\frac{{（4{x_0}-8{y_0}^2）-（4{x_0}+8）（{x_0}-1）}}{4y_0^2+x_0^2}$
=${y_0}•\frac{{4{x_0}-8{y_0}^2-（4{x_0}^2+4{x_0}-8）}}{4y_0^2+x_0^2}$
=${y_0}•\frac{{-8{y_0}^2-4{x_0}^2+8}}{4y_0^2+x_0^2}={y_0}•\frac{{-4（2{y_0}^2+{x_0}^2）+8}}{4y_0^2+x_0^2}={y_0}•\frac{-4×2+8}{4y_0^2+x_0^2}=0$．
所以$\overrightarrow{{F_2}P}∥$$\overrightarrow{{F_2}Q}$．所以点Q，P，F₂三点共线．
综上所述，点Q，P，F₂三点共线．

点评 本题考查椭圆的离心率的求法，注意运用椭圆的基本量的关系，考查三角形的面积的最值的求法，注意运用基本不等式，考查三点共线的证明，注意运用斜率相等，考查化简整理的运算能力，属于难题．