Question

设P₁（x₁，y₁），P₁（x₂，y₂），…，P_n（x_n，y_n）（n≥3，n∈N）是二次曲线C上的点，且a₁=|OP₁|²，a₂=|OP₂|²，…，a_n=|OP_n|²构成了一个公差为d（d≠0）的等差数列，其中O是坐标原点，记S_n=a₁+a₂+…+a_n。
（1）若C的方程为，n=3，点P₁（3，0）及S₃=255，求点P₃的坐标；（只需写出一个）
（2）若C的方程为（a＞b＞0），点P₁（a，0），对于给定的自然数n，当公差d变化时，求S_n的最小值；
（3）请选定一条除椭圆外的二次曲线C及C上的一点P₁，对于给定的自然数n，写出符合条件的点P₁，P₂，…P_n存在的充要条件，并说明理由。

Answer 1

解：（1）a₁=²=100，
由S₃=（a₁+a₃）=255，
得a₃=³=70
由，得
∴点P₃的坐标可以为（2，）。
（2）原点O到二次曲线C：（a>b>0）上各点的最小距离为b，最大距离为a
∵a₁=²=a²，
∴d＜0，且a_n=²=a²+（n-1）d≥b²，
∴≤d＜0
∵n≥3，>0
∴S_n=na²+d在[，0）上递增，
故S_n的最小值为na²+·=。
（3）若双曲线C：，点P₁（a，0），则对于给定的n，点P₁，P₂，…P_n存在的充要条件是d>0
∵原点O到双曲线C上各点的距离h∈[，+∞），且=a²，
∴点P₁，P₂，…P_n存在当且仅当²>²，即d>0。