Question

17．两个等差数列{a_n}：1，5，9，…和{b_n}：3，10，17，…各取前200项，求公共项的总和．

Answer 1

分析 由已知得公共项构成的新数列{c_n}是以c₁=17为首项，d=28为公差的等差数列，从而c_n=28n-11，求出a₂₀₀=797，b₂₀₀=1396，由c_n=28n-11≤797，得到公共项28项，由此能求出公共项的总和．

解答 解：等差数列{a_n}：1，5，9，13，17，21，25，29，33，37，41，45，…
等差数列{b_n}：3，10，17，24，31，38，45，…
∴公共项构成的新数列{c_n}是以c₁=17为首项，d=45-17=28为公差的等差数列，
∴c_n=17+（n-1）×28=28n-11．
a_n=1+（n-1）（5-1）=4n-3，b_n=3+（n-1）（10-3）=7n-4，
∴a₂₀₀=4×200-3=797，b₂₀₀=7×200-4=1396，
∴c_n=28n-11≤797，解得n≤28$\frac{6}{7}$，
c₂₈=773，c₂₉=801，
∴公共项28项，
∴公共项的总和：${S}_{28}=28×17+\frac{28×27}{2}×28$=11060．

点评 本题考查等差数列的前n项和的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意等差数列的性质的合理运用．