Question

6．如图，已知矩形ABCD所在平面外一点P，PA⊥平面ABCD，AB=1，BC=2，PA=2，E，F分别是AB，PC的中点．
（1）用向量法证明：AB⊥PD
（2）求丨EF丨
（3）求EF与PA所成的角的余弦值．

Answer 1

分析 （1）以A为原点，AB为x轴，AD为y轴，AP为z轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能证明AB⊥PD．
（2）求出$\overrightarrow{EF}$=（$\frac{1}{2}，\frac{1}{2}$，1），由此能求出|EF|．
（3）求出$\overrightarrow{EF}$，$\overrightarrow{AP}$=（0，0，2），利用向量法能求出EF与PA所成的角的余弦值．

解答 证明：（1）∵矩形ABCD所在平面外一点P，PA⊥平面ABCD，
∴以A为原点，AB为x轴，AD为y轴，AP为z轴，建立空间直角坐标系，
∵AB=1，BC=2，PA=2，E，F分别是AB，PC的中点，
∴A（0，0，0），B（1，0，0），P（0，0，2），D（0，2，0），
$\overrightarrow{AB}$=（1，0，0），$\overrightarrow{PD}$=（0，2，-2），
∴$\overrightarrow{AB}•\overrightarrow{PD}$=0，
∴AB⊥PD．
（2）C（1，2，0），E（0，$\frac{1}{2}$，0），F（$\frac{1}{2}，1，1$），
∴$\overrightarrow{EF}$=（$\frac{1}{2}，\frac{1}{2}$，1），
∴|EF|=$\sqrt{（\frac{1}{2}）^{2}+（\frac{1}{2}）^{2}+{1}^{2}}$=$\frac{\sqrt{6}}{2}$．
（3）$\overrightarrow{AP}$=（0，0，2），
设EF与PA所成的角为θ，
则cosθ=|cos＜$\overrightarrow{EF}，\overrightarrow{AP}$＞|=|$\frac{\overrightarrow{EF}•\overrightarrow{AP}}{|\overrightarrow{EF}|•|\overrightarrow{AP}|}$|=|$\frac{2}{2×\frac{\sqrt{6}}{2}}$|=$\frac{\sqrt{6}}{3}$．
∴EF与PA所成的角的余弦值为$\frac{\sqrt{6}}{3}$．

点评 本题考查异面直线垂直的证明，考查线段长的求法，考查异面直线所成角的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意向量法的合理运用．