Question

16．如图，在多面体ABCDE中，正方形ADEF与梯形ABCD所在平面互相垂直，AB∥CD，AD⊥CD，AB=AD=1，CD=2，M、N分别为EC、BD的中点．
（1）求证：BC⊥平面BDE；
（2）求直线MN与平面BMC所成的角的正弦值．

Answer 1

分析 （Ⅰ）证明BC⊥BD，BC⊥DE，即可证明BC⊥平面BDE；
（Ⅱ）以D为坐标原点建立如图所示直角坐标系D-xyz，求出平面BMC的法向量，即可求直线MN与平面BMC所成的角的正弦值．

解答 证明：（1）∵正方形ADEF与梯形ABCD所在平面互相垂直，
AB∥CD，AD⊥CD，AB=AD=1，CD=2，M、N分别为EC、BD的中点，
∴DE⊥平面ABCD，又BC?平面ABCD，∴BC⊥DE，
取CD中点O，连结BO，则BO⊥CD，且BO=CO=DO=1，
∴BD=BC=$\sqrt{1+1}=\sqrt{2}$，
∴BD²+BC²=CD²，∴BD⊥BC，
∵DE∩BD=D，∴BC⊥平面BDE．
解：（2）解：由（Ⅰ）知CD⊥平面ABCD，AD⊥CD，所以DE，DA，DC两两垂直．
以D为坐标原点建立如图所示直角坐标系D-xyz，
则C（0，2，0），B（1，1，0），E（0，0，1），M（0，1，$\frac{1}{2}$），N（$\frac{1}{2}$，$\frac{1}{2}$，0），
$\overrightarrow{BC}$=（-1，1，0），$\overrightarrow{MC}$=（0，1，-$\frac{1}{2}$），
设$\overrightarrow{n}$=（x，y，z）为平面BMC的法向量，
则$\left\{\begin{array}{l}{\overrightarrow{n}•\overrightarrow{BC}=-x+y=0}\\{\overrightarrow{n}•\overrightarrow{MC}=y-\frac{1}{2}z=0}\end{array}\right.$，取x=1，得$\overrightarrow{n}$=（1，1，2），
又$\overrightarrow{MN}$=（$\frac{1}{2}，-\frac{1}{2}，-\frac{1}{2}$），
设直线MN与平面BMC所成的角为θ，
∴sinθ=|cos＜$\overrightarrow{MN}，\overrightarrow{n}$＞|=|$\frac{\overrightarrow{MN}•\overrightarrow{n}}{|\overrightarrow{MN}|•|\overrightarrow{n}|}$|=|$\frac{\frac{1}{2}-\frac{1}{2}-1}{\sqrt{\frac{3}{4}}•\sqrt{6}}$|=$\frac{\sqrt{2}}{3}$．
∴直线MN与平面BMC所成的角的正弦值为$\frac{\sqrt{2}}{3}$．

点评 本题考查直线与平面垂直，直线与平面所成的角，空间向量的运算，考查空间想象能力，计算能力以及逻辑推理能力