Question

6．已知命题p：方程$\frac{x^2}{k}+\frac{y^2}{4-k}=1$表示焦点在x轴上的椭圆，命题q：方程（k-1）x²+（k-3）y²=1表示双曲线．若p∨q为真，p∧q为假，求实数k的取值范围．

Answer 1

分析 根据椭圆和双曲线的方程求出命题p，q的等价条件，结合复合命题之间的关系进行求解即可．

解答 解：当p为真时，k＞4-k＞0，即 2＜k＜4；    …（2分）
当q为真时，（k-1）（k-3）＜0，即 1＜k＜3；…（5分）
若p∨q为真，p∧q为假，
则p和q有且只有一个为真命题，则
（1）若p为真q为假，
则$\left\{\begin{array}{l}2＜k＜4\\ k≤1或k≥3\end{array}\right.$，
即3≤k＜4；…（7分）
（2）q为真p为假，
则$\left\{\begin{array}{l}k≤2或k≥4\\ 1＜k＜3\end{array}\right.$，
即1＜k≤2；…（9分）
∴综上所述，若p∨q为真，p∧q为假，则k的取值范围是1＜k≤2或3≤k＜4．…（10分）

点评 本题主要考查复合命题真假之间的关系，求出命题的等价条件是解决本题的关键．