Question

1．已知幂函数$g（x）={x^{-\frac{1}{2}{m^2}+m+\frac{3}{2}}}$（m∈Z）的图象关于y轴对称，且g（2）＜g（3）
（1）求m的值和函数g（x）的解析式；
（2）函数f（x）=ag（x）+a²x+3（a∈R）在区间[-2，-1]上是单调递增函数，求实数a的取值范围．

Answer 1

分析 （1）利用幂函数的性质可得：-m²+m+2＞0，且为偶数．解出即可．
（2）化简函数的解析式，利用分类讨论集合函数的单调性求解即可．

解答 解：（1）幂函数$g（x）={x^{-\frac{1}{2}{m^2}+m+\frac{3}{2}}}$（m∈Z）的图象关于y轴对称，函数是偶函数，g（2）＜g（3）函数是增函数，$-\frac{1}{2}{m}^{2}+m+\frac{3}{2}$=-$\frac{1}{2}$（m-1）²+2是偶数，
∴m=1，可得g（x）=x²满足题意．
（2）函数f（x）=ag（x）+a²x+3=ax²+a²x+3．
当a=0时，舍；
当a＞0时⇒a≥4；
当a＜0⇒a＜0．
∴a∈（-∞，0）∪[4，+∞）

点评 本题考查了幂函数的性质，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．