Question

12．在区间（-1，1）中随机地取出两个数m，n，求使方程x²+2mx-n²+1=0无实根的概率．

Answer 1

分析 由题意可得，区域$D=\left\{{（m，n）\left|{\left\{\begin{array}{l}-1＜m＜1\\-1＜n＜1\end{array}\right.}\right.}\right\}$，边长为2的正方形，面积为4，由方程方程x²+2mx-n²+1=0无实根，区域$A=\left\{{（x，y）\left|{\left\{\begin{array}{l}-1＜m＜1\\-1＜n＜1\\{m^2}+{n^2}＜1\end{array}\right.}\right.}\right\}$，可求其面积，代入概率求解公式可求．

解答 解：记“方程x²+2mx-n²+1=0无实根”的事件为A
每个基本事件发生是等可能的
区域$D=\left\{{（m，n）\left|{\left\{\begin{array}{l}-1＜m＜1\\-1＜n＜1\end{array}\right.}\right.}\right\}$，区域$A=\left\{{（x，y）\left|{\left\{\begin{array}{l}-1＜m＜1\\-1＜n＜1\\{m^2}+{n^2}＜1\end{array}\right.}\right.}\right\}$．
所以$P（A）=\frac{A的面积}{D的面积}=\frac{π}{4}$．
答：方程x²+2mx-n²+1=0无实根的概率为$\frac{π}{4}$．

点评 本题主要考查了与面积有关的几何概率的求解，解题的关键是根据积分知识求解出基本事件的区域面积．