Question

3．已知数列{a_n}的前n项和为S_n，且满足4（S_n+1）=$\frac{{{{（{n+2}）}^2}}}{n+1}{a_n}（{n∈{N^*}}）$
（1）求数列的通项公式a_n
（2）设b_n=$\frac{n+1}{a_n}$，数列{b_n}的前n项和为T_n，求证：T_n＜$\frac{3}{4}$．

Answer 1

分析 （1）当n≥2时，将n换为n-1，两式相减，可得$\frac{a_n}{{{{（{n+1}）}^3}}}=\frac{{{a_{n-1}}}}{n^3}=…=\frac{a_2}{3^3}$，求得a₂，即可得到所求通项；
（2）求得${b_n}=\frac{n+1}{a_n}=\frac{1}{{{{（{n+1}）}^2}}}＜\frac{1}{{n（{n+1}）}}=\frac{1}{n}-\frac{1}{n+!}$，再由裂项相消求和，结合不等式的性质，即可得证．

解答 解：（1）当n≥2时，有4（S_n+1）=$\frac{{{{（{n+2}）}^2}}}{n+1}{a_n}（{n∈{N^*}}）$，
4（S_n-1+1）=$\frac{（n+1）^{2}}{n}$a_n-1，
两式相减可得$4{a_n}=\frac{{{{（{n+2}）}^2}}}{n+1}{a_n}-\frac{{{{（{n+1}）}^2}}}{n}{a_{n-1}}$，
即$\frac{a_n}{{{a_{n-1}}}}=\frac{{{{（{n+1}）}^3}}}{n^3}$，
∴$\frac{a_n}{{{{（{n+1}）}^3}}}=\frac{{{a_{n-1}}}}{n^3}=…=\frac{a_2}{3^3}$
又当n=1时，a₁=8，n=2时，a₂=27，
∴${a_n}={（{n+1}）^3}$；
（2）证明：${b_n}=\frac{n+1}{a_n}=\frac{1}{{{{（{n+1}）}^2}}}＜\frac{1}{{n（{n+1}）}}=\frac{1}{n}-\frac{1}{n+!}$，
∴${T_n}＜\frac{1}{2^2}+\frac{1}{2×3}+\frac{1}{3×4}+…+\frac{1}{{n（{n+1}）}}$
=$\frac{1}{4}$+（$\frac{1}{2}$-$\frac{1}{3}$）+（$\frac{1}{3}$-$\frac{1}{4}$）+…+（$\frac{1}{n}$-$\frac{1}{n+1}$）
=$\frac{1}{4}+\frac{1}{2}-\frac{1}{n+1}＜\frac{3}{4}$．

点评 本题考查数列的通项的求法，注意运用数列的通项和前n项和的关系，考查数列不等式的证明，注意运用放缩法和裂项相消求和，考查运算能力，属于中档题．