Question

13．已知圆C：x²+y²+2x-4y+3=0．
（1）在x轴、y轴上截距相等的直线l不过原点且与圆C相切，求直线l的方程；
（2）从圆C外一点P向圆引一条切线，切点为M，O为坐标原点，且MP=OP，求点P的轨迹方程．

Answer 1

分析 （1）求出圆的圆心与半径，设出直线方程，利用直线与圆相切求解即可．
（2）设出P的坐标，利用垂直条件列出方程，求解即可．

解答 解：（1）C：（x+1）²+（y-2）²=2，显然圆心C（-1，2），半径r=$\sqrt{2}$．
∵不过原点的直线l在x轴、y轴上截距相等
∴不妨设l：$\frac{x}{a}+\frac{y}{a}=1$ 即x+y-a=0
又直线l与圆C相切∴$\frac{|-1+2-a|}{\sqrt{{1}^{2}+{1}^{2}}}$=$\sqrt{2}$，
∴a=3或-1
∴l：x+y-3=0或x+y+1=0
（2）由题如图，PM与圆C相切于M，∴PM⊥CM
设P（x，y），由MP=OP得：OP²=MP²=CP²-r²
∴x²+y²=（x+1）²+（y-2）²-2
整理得：2x-4y+3=0即为所求．

点评 本题考查轨迹方程的求法，圆的方程的求法与应用，考查计算能力．