Question

8．已知函数f（x）=2sin（2x+$\frac{π}{3}$）+1；
（1）求函数f（x）的对称中心；
（2）若存在区间[a，b]（a，b∈R且a＜b），使得y=f（x）在[a，b]上至少含有6个零点，在满足上述条件的[a，b]中，求b-a的最小值．

Answer 1

分析 （1）根据三角函数的对称性进行求解即可．
（2）根据函数零点的条件，求出相邻两个零点的间隔，进行求解即可．

解答 解：（1）由2x+$\frac{π}{3}$=kπ得x=-$\frac{π}{6}$+$\frac{kπ}{2}$，k∈Z．
对于函数f（x）=2sin（2x+$\frac{π}{3}$）+1，对称中心为（-$\frac{π}{6}$+$\frac{kπ}{2}$，1），k∈Z．
（2）令f（x）=0，求出 sin（2x+$\frac{π}{3}$）=-$\frac{1}{2}$，
∴x=kπ-$\frac{π}{4}$，或x=kπ-$\frac{7π}{12}$，
故相邻的零点之间的间隔依次为$\frac{π}{3}$，$\frac{2π}{3}$．
y=f（x）在[a，b]上至少含有6个零点，等价于b-a的最小值为 2×$\frac{2π}{3}$+3×$\frac{π}{3}$=$\frac{7π}{3}$．

点评 本题主要考查三角函数的图象和性质，利用三角函数的对称性和函数零点的关系是解决本题的关键．