Question

10．设f（x）是（-∞，+∞）上的奇函数，且f（x+2）=-f（x），当0≤x≤1时，f（x）=x．
（1）求f（π）的值；
（2）求-1≤x≤3时，f（x）的解析式；
（3）当-4≤x≤4时，求f（x）=m（m＜0）的所有实根之和．

Answer 1

分析 （1）根据函数奇偶性的性质即可求f（π）的值；
（2）结合函数奇偶性和周期性的性质即可求-1≤x≤3时，f（x）的解析式；
（3）当-4≤x≤4时，作出函数f（x）的图象，利用数形结合即可求f（x）=m（m＜0）的所有实根之和．

解答 解：（1）∵f（x+2）=-f（x），
∴f（x+4）=-f（x+2）=f（x），
即函数f（x）是周期为4的周期函数，
则f（π）=f（π-4）=-f（4-π）=-（4-π）=π-4；
（2）若-1≤x≤0，则0≤-x≤1，
则f（-x）=-x，
∵f（x）是奇函数，∴f（-x）=-x=-f（x），
即f（x）=x，-1≤x≤0，
即当-1≤x≤1时，f（x）=x，
若1≤x≤3，则-1≤x-2≤1，
∵f（x+2）=-f（x），
∴f（x）=-f（x-2）=-（x-2）=-x+2，
即当-1≤x≤3时，f（x）的解析式为f（x）=$\left\{\begin{array}{l}{x，}&{-1≤x≤1}\\{-x+2，}&{1≤x≤3}\end{array}\right.$；
（3）作出函数f（x）在-4≤x≤4时的图象如图，
则函数的最小值为-1，
若m＜-1，则方程f（x）=m（m＜0）无解，
若m=-1，则函数在-4≤x≤4上的零点为x=-1，x=3，则-1+3=2，
若-1＜m＜0，则函数在-4≤x≤4上共有4个零点，则它们分别关于x=-1和x=3对称，
设分别为a，b，c，d，
则a+b=-2，b+d=6，
即a+b+c+d=-2+6=4．

点评 本题主要考查函数解析式的求解，函数奇偶性的性质，以及函数与方程的应用，利用数形结合是解决本题的关键．