Question

9．设S_n为等比数列{a_n}的前n项和，记命题甲：4a₂-a₄=0，命题乙：S₄=5S₂，则命题甲成立是命题乙成立的（　　）

• A． 充分不必要条件
• B． 必要不充分条件
• C． 充要条件
• D． 既不充分也不必要条件

Answer 1

分析 根据充分条件和必要条件的定义结合等比数列的性质和通项公式的计算进行判断即可．

解答 解：若4a₂-a₄=0，则4a₂=a₄，即$\frac{{a}_{4}}{{a}_{2}}={q}^{2}=4$，解得q=±2，
当q=1时，S₄=5S₂，不成立，
即q≠1，则由S₄=5S₂，得$\frac{{a}_{1}（1-{q}^{4}）}{1-q}$=5×$\frac{{a}_{1}（1-{q}^{2}）}{1-q}$，
即1-q⁴=5（1-q²），
即（1-q²）（1+q²）=5（1-q²），
则（1-q²）（q²-4）═0，即q²=1或q²=4，即q=±2或q=1（舍）或q=-1，
则命题甲成立是命题乙成立的充分不必要条件，
故选：A

点评 本题主要考查充分条件和必要条件的判断，结合等比数列的通项公式以及前n项和公式是解决本题的关键．