Question

1．平面上一机器人在行进中始终保持与点F（1，0）的距离比到直线x=-2的距离小1．若机器人接触不到过点P（-1，0）且斜率为k的直线，则k的取值范围是k＜-1或k＞1．

Answer 1

分析 由抛物线的定义，求出机器人的轨迹方程，过点P（-1，0）且斜率为k的直线方程为y=k（x+1），代入y²=4x，利用判别式，即可求出k的取值范围

解答 解：平面上一机器人在行进中始终保持与点F（1，0）的距离比到直线x=-2的距离小1，
即平面上一机器人在行进中始终保持与点F（1，0）的距离和到直线x=-1的距离相等，
由抛物线的定义可知，机器人的轨迹方程为y²=4x，
过点P（-1，0）且斜率为k的直线方程为y=k（x+1），
代入y²=4x，可得k²x²+（2k²-4）x+k²=0，
∵机器人接触不到过点P（-1，0）且斜率为k的直线，
∴△=（2k²-4）²-4k⁴＜0，
∴k＜-1或k＞1．
故答案为：k＜-1或k＞1．

点评 本题考查抛物线的定义，考查直线与抛物线的位置关系，属于中档题．