Question

10．已知中心在原点的椭圆C以抛物线y²=4x的焦点F为右焦点，且它们的公共点P到点F的距离为$\frac{5}{3}$，则椭圆C的标准方程为（　　）

• A． $\frac{{x}^{2}}{4}$+y²=1
• B． $\frac{{y}^{2}}{4}$+x²=1
• C． $\frac{{x}^{2}}{4}$+$\frac{{y}^{2}}{3}$=1
• D． $\frac{{y}^{2}}{4}$+$\frac{{x}^{2}}{3}$=1

Answer 1

分析 先求出抛物线y²=4x的焦点F（1，0），从而得到椭圆C的右焦点为F（1，0），左焦点为F₁（-1，0），它们的公共点P到点F的距离为$\frac{5}{3}$，求出P点横坐标x_P=$\frac{2}{3}$，|PF₁|=$\frac{7}{3}$，由此利用椭圆定义能求出椭圆C的标准方程．

解答 解：∵抛物线y²=4x的焦点F（1，0），
∴中心在原点的椭圆C的右焦点为F（1，0），左焦点为F₁（-1，0），
设椭圆C的方程为$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}+\frac{{y}^{2}}{{a}^{2}-1}$=1，
∵它们的公共点P到点F的距离为$\frac{5}{3}$，
∴P到x=-1的距离为$\frac{5}{3}$，∴P点横坐标x_P=$\frac{2}{3}$，
∴${{y}_{P}}^{2}=4×\frac{2}{3}$=$\frac{8}{3}$，∴|PF₁|=$\sqrt{（{x}_{P}+1）^{2}+{{y}_{P}}^{2}}$=$\frac{7}{3}$，
∴2a=|PF|+|PF₁|=$\frac{5}{3}+\frac{7}{3}$=4，∴a=2，b²=4-1=3．
∴椭圆C的标准方程为$\frac{{x}^{2}}{4}+\frac{{y}^{2}}{3}=1$．
故选：C．

点评 本题考查椭圆标准方程的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意椭圆、抛物线性质的合理运用．