Question

19．在△ABC中，D是BC中点，已知∠BAD+∠C=90°．
（1）判断△ABC的形状；
（2）若△ADC的三边长是连续三个正整数，求∠BAC的余弦值．

Answer 1

分析 （1）设∠BAD=α，∠DAC=β，则由α+C=90°，可得β+B=90°，△ABD中，由正弦定理得：$\frac{sinB}{sinα}$=$\frac{AD}{BD}$，$\frac{sinC}{sinβ}$=$\frac{AD}{DC}$，结合BD=DC，可得sin2C=sin2B，结合范围B，C∈（0，π），即解得B=C或B+C=90°，从而得解． 
（2）当B+C=90°时，$AD=\frac{1}{2}BC=DC$，与△ADC的三边长是连续三个正整数矛盾，
可得∠B=∠C，在直角三角形ADC中，设两直角边分别为n，n-1，斜边为n+1，由勾股定理得n=4，由余弦定理或二倍角公式即可求得cos∠BAC的值．

解答 解：（1）设∠BAD=α，∠DAC=β，
则由α+C=90°，∴β+B=90°，
△ABD中，由正弦定理得：$\frac{BD}{sinα}=\frac{AD}{sinB}$，即$\frac{sinB}{sinα}$=$\frac{AD}{BD}$，
同理得：$\frac{sinC}{sinβ}$=$\frac{AD}{DC}$，…（2分）
∵BD=DC，∴$\frac{sinB}{sinα}=\frac{sinC}{sinβ}$，∴sinαsinC=sinβsinB，
∵α+C=90°，β+B=90°，∴sinCcosC=sinBcosB，…（4分）
即sin2C=sin2B，因为B，C∈（0，π）
即B=C或B+C=90°                        …（6分）
∴△ABC是等腰三角形或直角三角形．…（7分）
（2）当B+C=90°时，$AD=\frac{1}{2}BC=DC$，与△ADC的三边长是连续三个正整数矛盾，
∴∠B=∠C，∴△ABC是等腰三角形．…（8分）
在直角三角形ADC中，设两直角边分别为n，n-1，斜边为n+1，由（n+1）²=n²+（n-1）² 得n=4，…（10分）
由余弦定理或二倍角公式得cos∠BAC=$\frac{7}{25}$ 或cos∠BAC=-$\frac{7}{25}$ （12分）

点评 本题主要考查了正弦定理，余弦定理，勾股定理，三角函数恒等变换的应用，考查了计算能力和转化思想，属于中档题．