Question

14．如图，在棱长为a的正方体ABCD-A₁B₁C₁D₁中，M为A₁D中点，N为AC中点．
（1）求异面直线MN和AB所成的角；
（2）求证：MN⊥AB₁．

Answer 1

分析 （1）以D为原点，DA为x轴，DC为y轴，DD₁为z轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能求出异面直线MN和AB所成的角的大小．
（2）分别求出$\overrightarrow{MN}$，$\overrightarrow{A{B}_{1}}$，利用向量法能证明MN⊥AB₁．

解答 解：（1）以D为原点，DA为x轴，DC为y轴，DD₁为z轴，建立空间直角坐标系，
由题意得M（$\frac{a}{2}$，0，$\frac{a}{2}$），N（$\frac{a}{2}，\frac{a}{2}$，0），A（a，0，0），B（a，a，0），
$\overrightarrow{MN}$=（0，$\frac{a}{2}$，-$\frac{a}{2}$），$\overrightarrow{AB}$=（0，a，0），
设MN和AB所成的角为θ，
则cosθ=|$\frac{\overrightarrow{MN}•\overrightarrow{AB}}{|\overrightarrow{MN}|•|\overrightarrow{AB}|}$|=|$\frac{\frac{{a}^{2}}{2}}{\frac{\sqrt{2}}{2}{a}^{2}}$|=$\frac{\sqrt{2}}{2}$，
∴θ=45°，
∴异面直线MN和AB所成的角为45°．
证明：（2）$\overrightarrow{MN}$=（0，$\frac{a}{2}$，-$\frac{a}{2}$），B₁（a，a，a），$\overrightarrow{A{B}_{1}}$=（0，a，a），
∴$\overrightarrow{MN}•\overrightarrow{A{B}_{1}}$=0+$\frac{{a}^{2}}{2}-\frac{{a}^{2}}{2}$=0，
∴MN⊥AB₁．

点评 本题考查异面直线所成角的求法，考查异面垂直的证明，是基础题，解题时要认真审题，注意向量法的合理运用．