Question

6．函数$f（x）=\frac{{\root{3}{3x+5}}}{{a{x^2}+4ax+3}}$的定义域为R，则实数a的取值范围是（　　）

• A． （-∞，+∞）
• B． $（0，\frac{3}{4}）$
• C． $（\frac{3}{4}，+∞）$
• D． $[0，\frac{3}{4}）$

Answer 1

分析 由函数$f（x）=\frac{{\root{3}{3x+5}}}{{a{x^2}+4ax+3}}$的定义域为R，得对任意实数x，ax²+4ax+3≠0，然后分a=0和a≠0讨论，当a≠0时，由△=16a²-12a＜0求得a的取值范围．

解答 解：由函数$f（x）=\frac{{\root{3}{3x+5}}}{{a{x^2}+4ax+3}}$的定义域为R，得
对任意实数x，ax²+4ax+3≠0，
当a=0时，ax²+4ax+3=3≠0成立；
当a≠0时，则△=16a²-12a＜0，即0＜a＜$\frac{3}{4}$．
综上，实数a的取值范围是[0，$\frac{3}{4}$）．
故选：D．

点评 本题考查函数的定义域及其求法，考查了分类讨论的数学思想方法，是中档题．