Question

1．等比数列{a_n}前n项和为S_n=a+（$\frac{1}{3}$）ⁿ，n∈N^*，则$\lim_{n→∞}$（a₁+a₃+a₅+…+a_2n-1）=-$\frac{3}{4}$．

Answer 1

分析 先求出数列的前3项，由等比数列的性质求出首项和公比，由此能求出$\lim_{n→∞}$（a₁+a₃+a₅+…+a_2n-1）．

解答 解：∵等比数列{a_n}前n项和为S_n=a+（$\frac{1}{3}$）ⁿ，n∈N^*，
∴a₁=S₁=a+$\frac{1}{3}$，
a₂=S₂-S₁=[a+（$\frac{1}{3}$）²]-（a+$\frac{1}{3}$）=-$\frac{2}{9}$，
a₃=S₃-S₂=[a+（$\frac{1}{3}$）³]-[a+（$\frac{1}{3}$）²]=-$\frac{2}{27}$，
∴（-$\frac{2}{9}$）²=（a+$\frac{1}{3}$）（-$\frac{2}{27}$），解得a=-1，${a}_{1}=-\frac{2}{3}$，q=$\frac{-\frac{2}{9}}{-\frac{2}{3}}$=$\frac{1}{3}$，
∴${a}_{n}=（-\frac{2}{3}）•（\frac{1}{3}）^{n-1}$=（-2）$•\frac{1}{{3}^{n}}$．
∴$\lim_{n→∞}$（a₁+a₃+a₅+…+a_2n-1）=$\lim_{n→∞}$（$\frac{-\frac{2}{3}（1-\frac{1}{{9}^{n}}）}{1-\frac{1}{9}}$）=$\frac{-\frac{2}{3}}{1-\frac{1}{9}}$=-$\frac{3}{4}$．
故答案为：-$\frac{3}{4}$．

点评 本题考查数列的前2n项中奇数项和的极限的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意等比数列的性质的合理运用．