Question

11．已知斜四棱柱ABCD-A₁B₁C₁D₁的各棱长均为2，∠A₁AD=60°，∠BAD=90°，平面A₁ADD₁⊥平面ABCD，则异面直线BD₁与AA₁所成的角的余弦值为（　　）

• A． $\frac{\sqrt{3}}{4}$
• B． $\frac{\sqrt{13}}{4}$
• C． $\frac{\sqrt{39}}{13}$
• D． $\frac{3}{4}$

Answer 1

分析 由AA₁∥DD₁，得∠BD₁D（或其补角）是异面直线BD₁与AA₁所成的角，由此能求出异面直线BD₁与AA₁所成的角的余弦值．

解答 解：∵AA₁∥DD₁，
∴∠BD₁D（或其补角）是异面直线BD₁与AA₁所成的角，
∵DD₁=2，BD=$\sqrt{A{B}^{2}+A{D}^{2}}$=2$\sqrt{2}$，
在菱形ADD₁A₁中，∵∠A₁AD=60°，∴∠AA₁D₁=120°，
∵A₁D₁=AA₁=2，∴$A{D}_{1}=2\sqrt{3}$，
又AB⊥AD，平面A₁ADD₁⊥平面ABCD，平面A₁ADD₁∩平面ABCD=AD，
∴AB⊥平面A₁ADD₁，
∴BD₁=$\sqrt{A{B}^{2}+A{{D}_{1}}^{2}}$=4，
∴cos∠BD₁D=$\frac{16+4-8}{2×4×2}$=$\frac{3}{4}$．
故选：D．

点评 本题考查异面直线所成角的余弦值的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意余弦定理的合理运用．