Question

20．已知抛物线$y=\frac{1}{4}{x^2}$和$y=-\frac{1}{16}{x^2}+5$所围成的封闭曲线，给定点A（0，a），若在此封闭曲线上恰有三对不同的点，满足每一对点关于点A对称，则实数a的取值范围是$（\frac{5}{2}，4）$．

Answer 1

分析 由图可知过两曲线的交点的直线与x轴的交点为（0，4），所以a＜4．当对称的两个点分属两段曲线时，设其中一个点为（x₁，$\frac{{{x}_{1}}^{2}}{4}$），则其对称点为（-x₁，2a-$\frac{{{x}_{1}}^{2}}{4}$），将其代入曲线$y=-\frac{1}{16}{x^2}+5$，得到的关于x₁的方程的解有且只有两个，进而可得结果．

解答 解：显然，过点A与x轴平行的直线与封闭曲线的两个交点关于点A对称，且这两个点在同一曲线上．
当对称的两个点分属两段曲线时，设其中一个点为（x₁，y₁），其中y₁=$\frac{{{x}_{1}}^{2}}{4}$，且-4≤x₁≤4，则其关于点A的对称点为（-x₁，2a-y₁），
所以这个点在曲线$y=-\frac{1}{16}{x^2}+5$上，
所以2a-y₁=-$\frac{1}{16}$x₁²+5，即2a-$\frac{{{x}_{1}}^{2}}{4}$=-$\frac{1}{16}$x₁²+5，
所以2a=$\frac{3}{16}$x₁²+5，即$\frac{3}{16}$x₁²+5-2a=0，此方程的x₁的解必须刚好有且只有两个，
当x₁=4时，其对称点的横坐标刚好为-4，故x₁≠±4，
于是-4＜x₁＜4，且x₁≠0，
∴2a=$\frac{3}{16}$x₁²+5∈（5，8），即$（\frac{5}{2}，4）$．
故答案为：$（\frac{5}{2}，4）$．

点评 本题考查点的对称性、一元二次方程根的判别式，属于中档题．