Question

10．已知：2y²-x²=1，求d=$\frac{|x-2y|}{\sqrt{5}}$的最小值．

Answer 1

分析 由题意画出图象，设与直线x-2y=0平行的直线l的方程，根据图象可知直线l与2y²-x²=1相切时，切点到直线x-2y=0的距离最小，联立直线方程和双曲线方程消去x，由相切的条件得△=0求出m的值，利用两条平行线间的距离公式求出d的最小值．

解答 解：由题意画出图象：
设与直线x-2y=0平行的直线l的方程为：
x-2y+m=0，
当直线l与双曲线2y²-x²=1相切时，
切点到直线x-2y=0的距离最小，
即d=$\frac{|x-2y|}{\sqrt{5}}$的值最小，
由$\left\{\begin{array}{l}{x-2y+m=0}\\{2{y}^{2}-{x}^{2}=1}\end{array}\right.$得，
2y²-4my+m²+1=0，
所以△=（4m）²-4×2×（m²+1）=0，
解得：m=±1，
则直线l的方程为：x-2y±1=0，
所以d的最小值是：$\frac{|±1-0|}{\sqrt{5}}$=$\frac{\sqrt{5}}{5}$．

点评 本题考查双曲线的简单几何性质，直线与双曲线的位置关系，以及点到直线的距离与平行线间的距离转化，考查转化思想、数形结合思想，属于中档题．