Question

2．设函数f（x）=cos（2x-$\frac{4π}{3}$）+2cos²x，
（Ⅰ）求f（x）的最大值，并写出使f（x）取最大值时x的集合；
（Ⅱ）已知△ABC中，角A、B、C的对边分别为a、b、c，若f（B+C）=$\frac{3}{2}$，b+c=2，a=1，求△ABC的面积的最大值．

Answer 1

分析 （Ⅰ）由两角和与差的余弦和二倍角公式及三角函数恒等式先求出f（x）=cos（2x+$\frac{π}{3}$）+1，由此能求出f（x）的最大值及使f（x）取最大值时x的集合．
（Ⅱ）由题意，得cos（2A-$\frac{π}{3}$）=$\frac{1}{2}$，从而A=$\frac{π}{3}$，由余弦定理，得1=b²+c²-bc≥bc，由此能求出△ABC的面积的最大值．

解答 解：（Ⅰ）f（x）=cos（2x-$\frac{4π}{3}$）+2cos²x
=（cos2xcos$\frac{4π}{3}$+sinxsin$\frac{4π}{3}$）+（1+cos2x）
=$\frac{1}{2}cos2x$-$\frac{\sqrt{3}}{2}sin2x$+1
=cos（2x+$\frac{π}{3}$）+1．…（3分）
∴f（x）的最大值为2．…（4分）
此时cos（2x+$\frac{π}{3}$）=1，2x+$\frac{π}{3}$=2kπ，k∈Z，
故x的集合为{x|x=k$π-\frac{π}{6}$，k∈Z}．…（5分）
（Ⅱ）由题意，f（B+C）=cos[2（B+C）+$\frac{π}{3}$]+1=$\frac{3}{2}$，
即cos（2$π-2A+\frac{π}{3}$）=$\frac{1}{2}$，
化简得cos（2A-$\frac{π}{3}$）=$\frac{1}{2}$，（7分）
A∈（0，π），∴2A-$\frac{π}{3}$∈（-$\frac{π}{3}，\frac{5π}{3}$），只有2A-$\frac{π}{3}=\frac{π}{3}$，∴A=$\frac{π}{3}$…（8分）
在△ABC中，a=1，A=$\frac{π}{3}$，由余弦定理，得${a}^{2}={b}^{2}+{c}^{2}-2bccos\frac{π}{3}$，
即1=b²+c²-bc≥bc，当且仅当b=c取等号，…（10分）
∴${S}_{△ABC}=\frac{1}{2}bcsinA=\frac{\sqrt{3}}{4}bc≤\frac{\sqrt{3}}{4}$．
∴△ABC的面积的最大值为$\frac{\sqrt{3}}{4}$．…（12分）

点评 本题考查三角函数化简求值，考查三角形面积最大值的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意两角和与差的余弦和二倍角公式及三角函数恒等式、余弦定理的合理运用．