Question

15．已知：对任意x∈[0，1]都有$\sqrt{1-{x^2}}-cosωx≥0$成立，且ω＞0则ω的取值范围为（　　）

• A． $[\frac{π}{4}，\frac{π}{2}]$
• B． $（\frac{π}{4}，\frac{π}{2}]$
• C． $[\frac{π}{2}，\frac{3π}{2}]$
• D． $[\frac{π}{2}，\frac{3π}{2}）$

Answer 1

分析 由题意可得，对任意x∈[0，1]y=cosωx的图象恒在y=$\sqrt{{1-x}^{2}}$的图象的下方，如图，由cos（ω•1）≤0，结合ω＞0，求得ω的范围．

解答 解：对任意x∈[0，1]都有$\sqrt{1-{x^2}}-cosωx≥0$成立，且ω＞0，
当x=0时，$\sqrt{1{-x}^{2}}$=1，cosωx=1，满足条件．
x∈（0，1]时，要使$\sqrt{1-{x^2}}-cosωx≥0$恒成立，
只要cosωx≤$\sqrt{{1-x}^{2}}$，故当x∈（0，1]时，
y=cosωx的图象恒在y=$\sqrt{{1-x}^{2}}$的图象的下方，
如图所示：
故有cos（ω•1）=cosω≤0，∴$\frac{π}{2}$≤ω≤$\frac{3π}{2}$，
故选：C．

点评 本题主要考查余弦函数的图象，余弦函数在各个象限中的符号，属于基础题．