Question

10．在锐角△ABC中，角A、B、C所对的边分别为a、b、c，且acosB+bcosA=$\frac{{3\sqrt{5}}}{5}$csinC．
（1）求cosC；
（2）若a=6，△ABC的面积为8$\sqrt{5}$，求c．

Answer 1

分析 （1）由已知利用正弦定理得sinAcosB+cosAsinB=sin（A+B）=$\frac{3\sqrt{5}}{5}si{n}^{2}C$，由此能求出sinC，从而能求出cosC．
（2）由三角形面积公式得到$\sqrt{5}b=8\sqrt{5}$，从而求出b，由此利用余弦定理能求出c．

解答 解：（1）∵在锐角△ABC中，角A、B、C所对的边分别为a、b、c，且acosB+bcosA=$\frac{{3\sqrt{5}}}{5}$csinC，
∴由正弦定理得sinAcosB+cosAsinB=sin（A+B）=$\frac{3\sqrt{5}}{5}si{n}^{2}C$，
∴$sinC=\frac{3\sqrt{5}}{5}si{n}^{2}C$，
∵sinC＞0，∴sinC=$\frac{\sqrt{5}}{3}$，
∵C是锐角，∴cosC=$\frac{2}{3}$．
（2）∵${S}_{△ABC}=\frac{1}{2}absinC$，a=6，
∴$\sqrt{5}b=8\sqrt{5}$，解得b=8，
由余弦定理得c²=a²+b²-2abcosC=36+64-2×$6×8×\frac{2}{3}$=36，
∴c=6．

点评 本题考查三角形内角余弦值和边长的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意正弦定理、余弦定理、同角三角函数关系式的合理运用．