Question

4．设函数f（x）=sin（ωx+ϕ），（ω＞0，-π＜ϕ＜0）的两个相邻的对称中心分别为（$\frac{π}{8}$，0），$（\frac{5π}{8}，0）$
（1）求f（x）的解析式；
（2）求函数f（x）图象的对称轴方程；
（3）用五点法作出函数f（x）在[0，π]上的简图．

Answer 1

分析 （1）由题意可求周期T，利用周期公式可求ω，由点（$\frac{π}{8}$，0）在函数图象上，可得$0=sin（\frac{π}{4}+ϕ）$，结合范围-π＜ϕ＜0，可求ϕ，从而可求f（x）的解析式；
（2）由$2x-\frac{π}{4}=\frac{π}{2}+kπ$，可解得f（x）对称轴方程．
（3）分别取2x-$\frac{π}{4}$=0、$\frac{π}{2}$、π、$\frac{3π}{2}$、2π，求出对应的x值和y值列表，然后描点，再用平滑曲线连接得函数图象．

解答 解：（1）∵f（x）的两个相邻的对称中心分别为$（\frac{π}{8}，0）$，$（\frac{5π}{8}，0）$，
∴$T=\frac{4π}{8}×2=\frac{π}{2}×2=\frac{2π}{ω}=π$，
∴ω=2，
∴由$0=sin（\frac{π}{4}+ϕ）$，可得：$\frac{π}{4}+ϕ=kπ$，解得：$ϕ=kπ-\frac{π}{4}$，
∵-π＜ϕ＜0，
∴$ϕ=-\frac{π}{4}$，
∴$f（x）=sin（2x-\frac{π}{4}）$．
（2）∵由$2x-\frac{π}{4}=\frac{π}{2}+kπ$，可得$2x=\frac{3π}{4}+kπ$，k∈Z，
∴f（x）对称轴方程为$x=\frac{3π}{8}+\frac{kπ}{2}，k∈Z$
（3）第一步：列表

x	$\frac{π}{8}$	$\frac{3π}{8}$	$\frac{5π}{8}$	$\frac{7π}{8}$	$\frac{9π}{8}$
2x-$\frac{π}{4}$	0	$\frac{π}{2}$	π	$\frac{3π}{2}$	2π
y=sin（2x-$\frac{π}{4}$）	0	1	0	-1	0

第二步：描点
第三步：连线画出图象如图所示：

点评 本题考查了y=Asin（ωx+φ）型函数的有关概念，考查了由y=Asin（ωx+φ）的部分图象确定其解析式，考查利用五点作图法作函数的图象，属于基础题．