Question

2．如图，在底面是矩形的四棱锥P-ABCD中，PA⊥底面ABCD，PA=AB=1，BC=2．
（1）求证：平面PDC⊥平面PAD；
（2）若E是PD的中点，求异面直线AE与PC所成角的余弦值．

Answer 1

分析 （1）由PA⊥底面ABCD，底面ABCD是矩形，可得PA⊥CD及AD⊥CD，进而由线面垂直的判定定理得到DC⊥平面PAD，进而由面面垂直的判定定理得到平面PAD⊥平面PDC；
（2）以A为原点，AB所在直线为x轴，AD所在直线为y轴，AP所在直线为z轴建立空间直角坐标系，求出各顶点的坐标后，求出$\overrightarrow{AE}$，$\overrightarrow{PC}$，代入向量夹角公式即可求出异面直线AE与PC所成角的余弦值．

解答 解：（1）∵PA⊥底面ABCD，CD?底面ABCD
∴PA⊥CD．                    
∵底面ABCD是矩形，AD⊥CD．                                                          
又PA∩AD=A，AP?面PAD，AD?面PAD，
∴DC⊥平面PAD．                                                  
∵DC?平面PDC，
∴平面PAD⊥平面PDC，
（2）以A为原点，AB所在直线为x轴，AD所在直线为y轴，AP所在直线为z轴建立空间直角坐标系，则
A（0，0，0），B（1，0，0），C（1，2，0），D（0，2，0），P（0，0，1），E（0，1，$\frac{1}{2}$）．
∴$\overrightarrow{AE}$=（0，1，$\frac{1}{2}$），$\overrightarrow{PC}$=（1，2，-1），
∴$\overrightarrow{AE}$•$\overrightarrow{PC}$=0+2-$\frac{1}{2}$=$\frac{3}{2}$，|$\overrightarrow{AE}$|=$\frac{\sqrt{5}}{2}$，|$\overrightarrow{PC}$|=$\sqrt{6}$
设AE与PC所成角为θ，
∵cosθ=$\frac{\overrightarrow{AE}•\overrightarrow{PC}}{|\overrightarrow{AE}|•|\overrightarrow{PC}|}$=$\frac{\frac{3}{2}}{\frac{\sqrt{5}}{2}•\sqrt{6}}$=$\frac{\sqrt{30}}{10}$，
∴所求角的余弦值为$\frac{\sqrt{30}}{10}$．

点评 本题考查的知识点是利用空间向量求平面间的夹角，用空间向量求直线与平面的夹角，其中建立坐标系，将二面角及线面夹角问题转化为向量夹角问题是解答本题的关键．